Рукопожатия

Докажите, что за всю историю человечества было чётное количество людей, сделавших нечётное количество рукопожатий.

Ответ: Рукопожатие засчитывается каждому из пары, поэтому, если просуммируем рукопожатия по всем людям, получим их удвоенное количество - четное число. Сумма по людям, сделавшим четное количество - также четная, отсюда она должна быть четной и для людей, сделавших нечетное количество рукопожатий. Это возможно, только если их четное число.

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.2 (53 оценки)


Комментарии

Другими словами, невозможно существование ряда чисел с чётной суммой, в котором было бы нечётное количество нечётных членов.

Или даже так: сумма нечётного числа нечётных чисел всегда нечётна.

Что-то не получается. На микро планете жили A,B,C. Друг с другом успели поздароваться A-B, A-C, B-C. Потом все исчезли. 3 рукопожатия, 3 особи.

На другой жили. D,E,F,G. У них другая ситуация. D-E,D-F,D-G,F-G. 4 рукопожатия, 4 особи.

Условие задачи плохо сформулировано. У него много вариантов трактовки.

Покумекал тут. Если условие задачи понимать так: "Есть две группы людей: одна группа (M) состоит из людей, каждый в отдельности из которых сделал нечётное голичество рукопожатий, а вторая (K) - из людей, каждый из которых совершил, соответственно, чётное количество рукопожатий.", то доказать, что M-чётное можно методом индукции.

Начальные условия. Никто не совершал ещё рукопожатий. Считаем ноль чётным числом. Все состоят в группе K. M(0)=0 - чётное.

Шаг итерации. Кто-то с кем-то совершил рукопожатие. Докажем, что еслм M(i) - чётное, то M(i+1) тоже чётное.

Всего 3 варианта:

1) Поздоровались двое из группы K, тогда каждому из них в копилку рукопожатий прибавилось по 1. Так как они состояли в K, то количество рукопожатий у каждого из них было чётным, и теперь стало нечётным. Соответсвтвенно, они оба попадают в группу M после своего рукопожатия. M(i+1)=M(i)+2 - чётное, так как M(i)-чётно.

2) Поздоровались двое из группы M, тогда каждому из них в копилку рукопожатий прибавилось по 1. Так как они состояли в M, то количество рукопожатий у каждого из них было нечётным, и теперь стало чётным. Соответсвтвенно, они оба попадают в группу K, покидая M после своего рукопожатия. M(i+1)=M(i)-2 - чётное, так как M(i)-чётно.

3) Поздоровались двое из разных групп. Тут аналогично проводя рассуждения получим, что каждый из них сменит группу, и соответственно количество в M не измениться. Поэтому M(i+1) останется чётным.

Сколько бы рукопожатий не было бы M(x) остаётся чётным числом.

По данной индукции и начальному условия доказали, что при совершению любого количества рукопожатий группа людей, состоящих из лиц, каждый из которых совершил нечётное количество рукопожатий, состоит из чётного количества человек.

Мое доказательство мне больше нравится :), чем в ответе автора.

"Сумма по людям, сделавшим четное количество - также четная" Ну не скажи. Вася, Маша, Петя. Вася с Машей два раза поздоровались (вчера и сегодня). А также Маша с Петей поздоровалась в эти же дни. У Васи с петей по два 2 очка. У Маши их 4. А всего людей 3. Поэтому ваша логика не верна.