Целочисленный треугольник

Существуют ли треугольники с целочисленными сторонами и целочисленными высотами? Если нет, то объясните почему, если да, то приведите пример.

Ответ: a = 15, b = 20, c = 25, ha = 20, hb = 15, hc = 12. Можно несколько упростить себе задачу, взяв изначально прямоугольный треугольник. Две из трёх высот в таком треугольнике совпадают с катетами, а следовательно, если изначально взят треугольник с целочисленными сторонами, то и две высоты у него будут целочисленные. Третья высота в прямоугольнике опущена на гипотенузу.

Начнём с "Египетского треугольника" - катеты в нем равны 3, 4 и 5. Две высоты равны 3 и 4, третья высота вычисляется по формуле h = 2S/a, где S - площадь треугольника, равная 3 × 4 × 1/2 = 6, а - длина стороны, на которую опущена высота, т.е. 5. Таким образом h = 2,4.

Однако, высоту можно сделать целочисленной, умножив все размеры на 5. Тогда стороны в треугольнике будут 15, 20 и 25, а высота на гипотенузу - 12.

Есть еще пример такого треугольника "посложнее": a = 975, b = 8125, c = 8450, ha = 7800, hb = 936, hc = 900 

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.9 (7 оценки)


Комментарии

А вот доказать в общем случае было бы интереснее, но там сложные уравнения получаются. Стороны a, b, c. Высоты k, m, p. Из формулы площади три уравнения: k*a=m*b=p*c. Из теоремы Пифагора еще три уравнения: с=(a^2-p^2)^1/2+(b^2-p^2)^1/2, b=(a^2-m^2)^1/2+(c^2-m^2)^1/2, a=(b^2-k^2)^1/2+(c^2-k^2)^1/2. Получаем систему из шести уравнений....заморочка да)))