40 прохожих

Опрашивают 40 наугад выбранных прохожих. Если среди опрошенных найдутся хотя бы двое, празднующие свой день рождения в один и тот же день года, вы проигрываете. Если все дни рождения различны — выигрыш ваш.

Приняли бы вы участие в подобном пари, особенно, если ставка достаточно высока?

Ответ: Задачу можно переформулировать следующим образом: какова вероятность того, что сорок наугад выбранных чисел от 1 до 365 окажутся попарно различными?

Количество последовательностей из 40 выбранных наугад чисел от 1 до 365, среди которых нет одинаковых, равно произведению 365 × 364 × ... × 327 × 326: на первом месте может находиться любое из 365 чисел, на втором — любое из оставшихся 364, на третьем — любое из оставшихся 363, и так далее.

Всего же произвольных последовательностей из 40 выбранных наугад чисел от 1 до 365 (среди которых могут быть и одинаковые) ровно 36540: на любом месте из сорока может стоять любое из чисел от 1 до 365.

Значит, искомая вероятность равна

365 × 364 × ... × 327 × 326 / 36540,

что чуть меньше 0,1. Таким образом, вероятность выигрыша в таком пари для вас составит чуть меньше, чем 1 к 9.

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.8 (17 оценки)


Комментарии

Задача хорошая - она наглядно демонстрирует парадокс дней рождения. Только в одном месте небольшая опечатка: не 36540, а 36540.

Спасибо, поправил

проходили в институте подобное, препод поприкалывался над нами тогда.

откуда взялось число 326 в произведении: 365 ? 364 ? ... ? 327 ? 326? может должно быть 325? 365-40= 325

Нет, всё верно. В этом произведении (365 ? 364 ? ... ? 327 ? 326) на сороковом месте должно быть число 326, потому что интервал от 326 до 365 содержит ровно 40 целых чисел.
А если подставить в формулу число 325, то мы найдём аналогичную вероятность для 41 прохожего.

Я, наверное, не прав. Но я решил наоборот. Вероятность того что у второго человека будет совпадать день рождение с первым 1 на 365, у третьего, с двумя предыдущими: 2 на 365 и т.д.. В итоге получиться 1*2*3*...*39/365(в 39 степени)