Листы, конверты, два стола

На двух столах (X и Y) лежат запечатанные конверты. Внутри каждого конверта находится один лист цветной (жёлтой или красной) бумаги, сложенный вчетверо. На столе X лежат 6 конвертов, в пяти из которых находятся жёлтые листы, а в одном – красный. А на столе Y лежат 4 конверта: в одном – жёлтый лист, в остальных трёх – красные.

Вскоре кто-то берёт с каждого стола по 3 конверта наугад (не зная, какого цвета листы внутри) и меняет их местами, т.е. те конверты, которые лежали на столе X, теперь лежат на столе Y, и наоборот. Причём их количество на каждом из столов не изменилось: 6 и 4 соответственно.

Какова вероятность того, что теперь на столе Y лежат 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным?

 

P.S. Задача предоставлена пользователем Artem of 93, которому отдельное спасибо за толковые комментарии к задачам

Ответ: Если внимательно разобраться в данной ситуации, то можно заметить, что в «тройке» конвертов, взятой наугад со стола X, могут оказаться либо три конверта с жёлтым листом, либо два конверта с жёлтым листом и один - с красным. Аналогично, со стола Y могут быть случайно выбраны либо три конверта с красным листом, либо два - с красным листом и один - с жёлтым. Перебрав все возможные варианты, можно прийти к выводу, что для того чтобы после указанного в условии случайного обмена конвертами, на столе Y оказались 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным, необходимо, чтобы одновременно выполнялись 2 условия:

1) В «тройке», которая была выбрана наугад из 6 конвертов со стола X, был бы один конверт с красным листом, а в остальных двух лежали бы жёлтые листы.
Единственный другой возможный вариант, при котором все три конверта, взятые наугад со стола X, содержали бы жёлтые листы, нас не устраивает: очевидно, что в этом случае после обмена конвертами на столе Y окажутся как минимум 3 конверта с жёлтым листом, а не 2, независимо от того, какая «тройка» будет выбрана со стола Y.

2) В «тройке», которая была выбрана наугад из 4 конвертов со стола Y, был бы один конверт с жёлтым листом, а в остальных двух лежали бы красные листы.
Единственный другой возможный вариант, при котором все три конверта, взятые наугад со стола Y, содержали бы красные листы, нас опять-таки не устраивает: в таком случае после обмена конвертами на столе Y вновь окажутся как минимум 3 конверта с жёлтым листом, а не 2, независимо от того, какая «тройка» будет выбрана со стола X.
Ведь если все три конверта, выбранные со стола Y, содержат красные листы, это значит, что на этом столе лежит один конверт с жёлтым листом, и к нему добавится «тройка» конвертов со стола X, в которой либо 2, либо 3 конверта с жёлтым листом.

Следовательно, для того чтобы найти вероятность того, что после указанного случайного обмена конвертами на столе Y будут лежать по 2 конверта с жёлтым и красным листами, необходимо найти вероятности каждого из двух вышеуказанных событий и перемножить их значения.

Сначала найдём вероятность события (1).
Выпишем все возможные «тройки», выбранные случайно со стола X, обозначив «жёлтые» конверты как A1, A2, A3, A4, A5, а «красный» – BB:

(A1, A2, A3) (A1, A3, A5) (A2, A3, A4) (A2, A5, BB)
(A1, A2, A4) (A1, A3, BB) (A2, A3, A5) (A3, A4, A5)
(A1, A2, A5) (A1, A4, A5) (A2, A3, BB) (A3, A4, BB)
(A1, A2, BB) (A1, A4, BB) (A2, A4, A5) (A3, A5, BB)
(A1, A3, A4) (A1, A5, BB) (A2, A4, BB) (A4, A5, BB)

Всего получим 20 «троек», 10 из которых содержат BB (конверт с красным листом).
Значит, вероятность события (1) равна:
P(X)=10/20=0,5=50%
Аналогично найдём вероятность события (2).
Выпишем все возможные «тройки», выбранные случайно со стола Y, обозначив конверты с красным листом как B1, B2, B3, а конверт с жёлтым листом – AA:

(B1, B2, B3)
(B1, B2, AA)
(B1, B3, AA)
(B2, B3, AA)

Всего получим 4 «тройки», 3 из которых содержат AA (конверт с жёлтым листом).
Значит, вероятность события (2) равна:
P(Y)=3/4=0,75=75%
Значит, искомая вероятность равна:
P = 0,5*0,75 = 0,375 = 3/8 = 37,5%
Ответ: 37,5%

Ваша оценка: Нет Средняя: 4.5 (15 оценки)


Комментарии

По-моему, описанное решение для данного конкретного случая сложновато.

Можно ведь и так. С вероятностью 3/4 после удаления трёх конвертов со стола Y останется конверт с красным листом (в противном случае, если с вероятностью 1/4 останется жёлтый лист, нам не получить двух красных листов со стола Х - их там нет изначально). Эту вероятность 3/4 нужно теперь умножить на вероятность вытащить со стола Х тремя конвертами из шести единственный конверт с красным листом, т. е. 1/2. Получим в итоге те же 3/8.

Да, возможно, я слишком подробно расписал ход решения. Просто я хотел наглядно продемонстрировать, почему вероятности каждого из событий равны 1/2 и 3/4.
А число возможных комбинаций в "тройках" можно найти через число сочетаний из n элементов (конвертов) по k.

а почему не прибавить 50 процентов первого события к 75 процентам второго и разделить на два?

А что Вы таким образом вычислите? То, что Вы написали - это просто среднее арифметическое значений вероятностей двух событий.

В данном случае есть два события:

X - один "красный" конверт в "тройке" со стола X;
Y - один "жёлтый" конверт в "тройке" со стола Y.

События X и Y являются независимыми. Значит, вероятность события XY, являющегося произведением двух независимых событий, равна вероятности произведения вероятностей этих двух независимых событий. Это следует из теоремы об умножении вероятностей.

Небольшую ошибку допустил (лишнее слово). Правильнее сказать, что вероятность события XY равна произведению вероятностей этих двух независимых событий, а не вероятности произведения. Но суть в том же.

По-моему, все действительно проще.

Для того, чтобы на столе Y оказалось по два кружка каждого цвета, нужно, чтобы со стола Y взяли два красных и один желтый, а со стола Х - два желтых и один красный.

После того, как забрали три конверта со стола Х, там осталось ровно три. Красный кружок там один. Значит, вероятность красному кружку "остаться" на столе такая же, как если его заберут. Т.е. вероятность того, что возьмут нужную нам комбинацию, равна 50%.

Со столом Y еще проще. Там должен остаться желтый кружок. Какова вероятность этого? очевидно, 3/4. Так как желтых там три.

Перемножаем вероятности и получаем искомый ответ 3/8, или 37.5%

Спасибо, что проявили интерес к задаче.

Как я уже писал ниже, я согласен, что слишком подробно расписал все возможные комбинации. Просто хотел, чтобы у читателей было меньше вопросов.

А сама задача совсем не сложная.