Хочешь быстрее – тормози!

Космический корабль-спутник совершает вокруг Земли 10 оборотов в сутки. По каким-то соображениям ему нужно ускорить свое движение так, чтобы совершать 12 оборотов в сутки. Что должен сделать космонавт: ускорить или затормозить корабль?

P. S. Задача из книги П. Маковецкого "Смотри в корень!"

Ответ: Космонавт должен затормозить корабль, к удивлению тех, кто хорошо знает законы движения наземного транспорта, но не знаком с космонавтикой. Доказать это можно с помощью законов Кеплера.

Третий закон Кеплера применительно к системе Земля – спутник гласит: «Квадраты времен обращения спутников вокруг Земли пропорциональны кубам их средних расстояний от центра Земли». Отсюда следует, что для уменьшения периода обращения необходимо уменьшить среднее расстояние Земля – спутник. Под средним расстоянием rср необходимо понимать среднее арифметическое из наибольшего расстояния rA (в апогее) и наименьшего rP (в перигее). Пусть для простоты первоначальная орбита спутника была круговой (D на рисунке).


 

Тогда среднее расстояние равно просто радиусу орбиты:

(rD)ср = rA.

Для эллиптической орбиты B

(rB)ср = (rA + rP) / 2 < (rD)ср;

следовательно, по орбите B спутник будет совершать оборот быстрее, чем по орбите D.

Как же перейти с орбиты D на орбиту B? Для этого спутник, движущийся по круговой орбите D, надо затормозить в момент прохождения через точку A. Тогда его скорости будет недостаточно для продолжения кругового движения, и он начнет снижаться по кривой B. При снижении часть потенциальной энергии спутника преобразуется в кинетическую, отчего скорость его движения в перигее P возрастает. Избыток кинетической энергии заставляет его вновь подняться в апогей A, и т.д.

Рассчитаем, любопытства ради, первоначальную и окончательную орбиты спутника, упоминавшегося в условиях задачи. Из третьего закона Кеплера

t12 / t22 = r13 / r23

следует, что радиус орбиты спутника

можно найти по его периоду обращения t1, если известны радиус орбиты r2 и период обращения t2 какого-нибудь другого спутника Земли. Можно использовать в качестве второго спутника Луну (r2 = 384 400 км, t2 = 27,32 суток) или самый близкий из теоретически возможных (при отсутствии атмосферы) искусственных спутников Земли (r2 = 6380 км – радиус Земли, t2 = 7900 м/с, t2 = 2πr2/v = (40·106)/7900 = 5070 с = 84,5 мин).

Принимая во внимание, что

t1 = 1/10 суток = 144 мин = tD,

имеем для радиуса орбиты спутника

r1 = 6380 · √3[1442 / 84,52] = 9120 км = (rD)ср,

т.е. спутник находится на высоте

h = 9120 – 6380 = 2740 км.

Найдем теперь среднее расстояние спутника от Земли после торможения (tB = 1/12 суток = 120 мин):

Перигейное расстояние

rBP = 2(rB)срrBA = 2(rB)ср – (rD)ср = 2 · 8070 – 9120 = 7020 км,

т.е. высота перигея

hP = 7020 – 6380 = 640 км.

Рассмотренный маневр космического корабля можно применять для того, чтобы догнать другой корабль. Допустим, на одну и ту же круговую орбиту D (рис. 17) выведены два корабля K1 и K2. Они несут на себе различные детали спутника, которые надо собрать воедино. Для этого следует кораблю K1 догнать корабль K2. Если на орбите D корабль K1 отстает от K2 на 1 минуту пути, то корабль K1 должен затормозить свое движение, чтобы перейти на такую орбиту B, на которой время обращения на 1 минуту меньше, чем на орбите D. Тогда ровно через один оборот (по орбите В) корабль K1 догонит корабль K2 в точке A. Таким образом, чтобы догнать впереди идущий спутник, задний должен уменьшить свою скорость.

Ту же задачу можно решить путем увеличения скорости впереди идущего корабля K2. Тогда корабль K2 пойдет по орбите C. Если приращение скорости выбрано правильно, то после одного оборота корабли встретятся в точке K2.

Не следует, однако, думать, что догнать корабль можно только таким способом. Описанный способ – самый экономичный по расходу топлива и самый простой для штурмана. Если же топлива много или если случай аварийный (нужно догнать немедленно!), то задний корабль может увеличить скорость, а возникающую при этом тенденцию корабля перейти на более высокую орбиту надо пресечь с помощью некоторой переориентации реактивной струи.

Ваша оценка: Нет Средняя: 4.2 (15 оценки)


Комментарии

Интересная задача с подвохом, но есть вычислительная ошибка при нахождении радиуса орбиты спутника.
При подстановке значений в формулу должно получится не "1442/84,52", а "1442/84,52". Но это не вычислительная ошибка, а незначительная ошибка в записи. А вычислительная ошибка заключается в том, что радиус орбиты спутника равен примерно 9102 км, а не 9120 км.

А в чём же здесь подвох? Совершать 12 оборотов вместо 10 вовсе не значит бежать быстрее, а лишь "поворачивать" быстрее, т.е. раньше. Но ведь даже не в космосе, а на простой дороге все знают, что чтобы повернуть надо притормозить, иначе не впишешься в поворот. Подвох здесь лишь для блондинок.

Блондин ты не прав.

Нет, он прав и очень правильно передал суть задачи.
Вообще условие сформулировано некорректно: "...корабль-спутник должен ускорить свое движение... Что должен сделать космонавт: ускорить или затормозить корабль?" )))