Парадокс Бертрана

В трех одинаковых комодах по два ящика в каждом. В каждом ящике комода А - золотая монета, в каждом ящике комода Б - серебряная монета, а в комоде В - серебряная монета в одном ящике и золотая - в другом. Вы открываете один из шести ящиков наугад и находите в нем серебряную монету.

Какова вероятность того, что в другом ящике этого же комода находится золотая монета?

Ответ: Понимая, что речь идет о комодах Б или В, большинство людей сразу же ответит, что вероятность 1/2. Однако мы здесь имеем дело с ящиками а не комодами. Правильный ответ - 1/3.

Три оставшихся ящика этих двух комодав имеют одинаковую вероятность, но только один предпочтительнее. Это - ящик с серебряной монетой в комоде В. Вероятность того, что комод В будет открыт сразу, составляет 1/3 и остается 1/3 после того, как ящик открыт и в нем найдена серебряная монета, так как золотые и серебряные распределены одинаково по ящикам и комодам. Тот, кто поставил на комод В, не сочтет свои шансы лучше или хуже после того, как серебряная монета будет найдена в первом открытом наугад ящике.

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.2 (42 оценки)


Комментарии

Я всегда был слаб в теории вероятностей, но даже при этом я обычно понимал объяснения решений задач. Но здесь, в этом объяснении я вообще ничего не понял.

Нужно объяснять проще. Ясно, что мы попали в комод Б или В, значит комод А сразу выходит из игры. Теперь мы имеем два комода. Один ящик мы открыли - там серебро. Значит золото в одном из остальных трёх ящиков, и вероятность, что она окажется именно во втором ящике окрытого комода = 1/3.

P.S. Какой-то комодский дракон, однако.

Забыли что варинат золото-серебро может иметь инверсию :)

Совершенно верно! Золотая может лежать в нижнем, а может в верхнем ящике. Какой ящик вы откроете? Вообще, полезно представить, что ящик мы уже выбрали, а затем монеты раскладываются по комодам.

Ответ на эту задачу заключается в том что после открытия одного из ящиков мы понимаем что перед нами либо комод Б либо комод В. То есть открывая этот первый ящик мы уже сделали свой выбор комода. И, исключая комод А, перед нами 50 на 50 либо Б либо В. Ответ 1/2. А ответ 1/3 был бы если бы было следующее условие: "имеется 4 ящика, в них 3 серебра и 1 золото, открыли один ящик, там серебро. Какова вероятность нахождения золота в трех оставшихся ящиках." и не нужно придумывать левые-правые-нижние-верхние ящики))) Они все одинаковые и по условиям задачи не имеют отличий друг от друга!

Какая разница, одинаковые ли эти ящики или нет? Как это влияет на значение вероятности?

Пусть эти ящики будут даже отличаться по цвету. Мы же не знаем, в каком именно ящике лежит золото, в верхнем или нижнем (правом или левом, первом или втором). В том-то и дело.

Чепуха. Нас интересует второй ящик этого же комода. Там может быть либо золото, либо серебро. Вероятность - 1/2

Я тоже считаю, что вероятность 1/2. Но видимо логика и теория вероятностей вещи разные. Видимо, подразумевается, что этот комод может оказаться как Б, так и В, значик количество оставшихся ящиков 3, и вероятность будет 1/3. Хотя можно провести эксперимент и проверить, сколько раз из 10 (например), выпадет золото, а сколько серебро, вот и получится вероятность.

логика и теория вероятностей одно и то же. Этот комод либо Б, либо В. Кол-во оставшихся ящиков не ТРИ, а ОДИН в вашем комоде. Это либо второй ящик комода Б с серебром, либо второй ящик комода В с золотом. Ваша вероятность будет 1/2.

Не совсем так. Забудьте вообще про комод с золотом. Если мы нашли монету, то нас интересует другой ящик того же комода. Таких ящиков может быть три. В двух из них серебро, в одном золото. Вот и получается вероятность - одна треть.

Что касается программки на питоне, то там надо было брать рандом от 0 до 5, затем уже искать к какому массиву (комоду он относится). То есть
comod_index = random.randint(0, 5)

Иначе вы пропускаете возможность
if(comods[comod_index][1] == "silver"):
которая тоже должна считаться успешным экспериментом.

Надеюсь так всё все будет ясно.

правильно - 1/2

блондинка то же самое думает про дракона - 1/2... ну, или про принца на коне.
но каждый день, выходя на улицу, разочаровывается =)

Все верно.
1. никаким парадоксом здесь и не пахнет.

Либо второй ящик в комоде Б (с серебром), либо второй ящик в комоде В (с золотом). Вероятность 50% в самом чистом виде.

По мне так условие строится после прохождения 1 этапа. И учитывать его бесмысленно! Мозг взрывается от того что все такие умники

После того, как мы увидели серебряную монету в ящике, вероятность, что она серебряная уже 100%, т.к.событие уже произошло.

у нас осталось 5 ящиков (комод с золотом не унесли) в которых 3 золотые и 2 серебрянные монеты. Считаем вероятность найти золото: 3 из 5 :)

Это было бы верно, если бы все 6 монет были распределены по ящикам случайным, а не определённым, как в данном случае, образом.
Когда мы узнаём что в одном из ящиков, некоторые последующие события превращаются из случайных в достоверные. В данном случае становится достоверным событие, что второй ящик открытого комода уже 100% не ящик комода А. Поэтому мы должны исключить из дальнейшего рассмотрения комод А. И у нас остаётся 3 ящика - вероятность 1/3.

ну хоть кто-то понимает условие)

После того когда мы нашли серебрянную монету мы должны проверить ящик ТОГО ЖЕ КОМОДА ( никакой другой комод нас не интересует), а там либо серебро либо золото - 1/2. А ответ вообще не ясен. Думаю проблема в условии задачи.

Но мы же не можем знать, какой именно комод мы открыли. Единственное, что мы знаем, что это точно не комод А. В оставшихся двух комодах лежат 3 серебряные монеты и 1 золотая. При этом одну серебряную монету мы уже обнаружили. Осталось 2 серебряные и 1 золотая. Поэтому, вероятность равна 1/3.
А парадокс в том, что мы полагаем, что обнаружили 2 серебряные монеты: по одной из комодов Б и В. Но это не так.

Вообще-то в этой задаче никакого парадокса нет, тем более Бертрана. Есть только простое непонимание людей (я и себя не исключаю) теории вероятностей и способности учесть все возможные события и отбросить все невозможные.
- В Норильск приехал негр. Какова вероятность что норильчанин, выйдя на улицу, первого встречного увидет чернокожего. Ну да, 1/2! Ведь всего два цвета - белый и чёрный!

Всё же небольшой парадокс в этой задаче есть. Подразумевается, что мы ошибочно думаем, что вероятность обнаружить серебряную монету равна вероятности обнаружения золотой монеты. Но на самом деле они равны 2/3 и 1/3 соответственно.

Тем самым, открыв ящик, мы считаем количество оставшихся комодов (два), а надо считать количество оставшихся ящиков (три). Это происходит из-за неверных рассуждений, кажущихся очевидными.

почему 3 ящика?!, 3 комода, а ящиков 6, один открыли осталось 5

Осталось 3 ящика, ведь два ящика комода А условно "отбросились" после обнаружения серебряной монеты, потому что в комоде А лежат только золотые монеты.

После обнаружения серебра остается не 3 ящика, а 1 ящик - это второй ящик в этом же комоде.
если это комод Б - вероятность серебра во втором ящике 100%
если это комод В - вероятность золота во втором ящике 100%
комоды равнозначны, значит вероятность 1/2

Вы хотели сказать, что осталось два ящика, а не один, потому что если бы остался один ящик, то вероятность равнялась бы 100%. На самом деле их осталось три.

если это комод Б - вероятность серебра во втором ящике 100%
если это комод В - вероятность золота во втором ящике 100%

Это так. Но из этого не следует, что вероятность равна 1/2.

а как это одну вытянули, а их все равно 3 ?!?!?...если всего 3 золота и 3 серебра....

Не понял вопрос. В комодах Б и В всего лежат 4 монеты: 3 серебряные и 1 золотая.

интересно считаете)
У вас же не один комод с четырьмя ящиками в которых 3 серебра и 1 золото, а два комода по два ящика в каждом. После обнаружения серебра, у вас остается не три ящика, а ОДИН в вашем комоде, и в этом ящике либо серебро комода Б, либо золото комода В. поэтому, вероятность равна 1/2.
А парадокса в этой задаче никакого и нет вовсе.

Парадокс есть, правильный ответ - 1/3.
После обнаружения серебряной монеты, у нас осталось три ящика: в двух ящиках лежат серебряные монеты, в одном - золотая.
Чуть выше я более детально расписал ход решения (комментарий от 02/08/2014).

Артем, после обнаружения серебра, осталось три ящика НО в ДВУХ комодах
Вы не можете открыть второй ящик в другом комоде, только в этом же самом
Поэтому остается либо ОДИН ящик с серебром либо ОДИН ящик с золотом
Ваши три ящика притянуты за уши и противоречат условиям задачи.
Элементарная логика и никакого парадокса.

Артем, чтобы вы поняли свою ошибку, поясню, что в вашем решении:
(СЕРЕБРО – sliver), (sliver – gold)
(sliver – СЕРЕБРО), (sliver – gold)
(sliver – sliver), (СЕРЕБРО – gold)
первая и вторая строка просто ДУБЛИРУЮТ одну и ту же ситуацию, отсюда у вас и возникает мифический третий ящик.
Реальная ситуация выглядит так:
НАЙДЕННОЕ СЕРЕБРО - возможное серебро (если комод Б)
НАЙДЕННОЕ СЕРЕБРО - возможное золото (если комод В)
не зацикливайтесь на парадоксах, здесь простая логика.

Да, действительно, первая и вторая строки являются одной ситуацией. Но это два разных случая.
То есть, у нас есть две ситуации и три случая:
Ситуация (1): в соседнем ящике лежит серебряная монета.
Ситуация (2): в соседнем ящике лежит золотая монета
Заглавным шрифтом выделена монета, которую мы обнаружили:
(SLIVER – sliver), (sliver – gold) – Ситуация (1)
(sliver – SLIVER), (sliver – gold) – Ситуация (1)
(sliver – sliver), (SLIVER – gold) – Ситуация (2)

Таким образом, вероятность возникновения ситуации (1) равна 2/3, а вероятность возникновения ситуации (2) – 1/3.

Я понимаю, почему кажется, что ответ – 1/2. Рассуждения строятся на том, что обнаружив серебро, мы полагаем, что открыли либо один из ящиков комода Б, либо ящик комода В. Но надо учитывать, что мы могли с одинаковой вероятностью открыть либо один, либо второй ящик комода Б. Это разные случаи. В этом вся "соль", её не очень ясно показал автор.

Спасибо, разумный человек! Все тут решают какую-то другую задачу, не заботясь перечитать условие.

Ответы с 1/2 напоминают мне анекдот про блондинку, которую спросили,
- Какова вероятность того, что Вы, выйдя на улицу, встретите динозавра?
- 50/50, либо встречу, либо нет.

а ведь в этой задаче правильный ответ и есть - 1/2, а все ищут динозавра в ящиках)

Еще с универа не любил тервер за порой "надуманные" решения.
И сейчас не буду доказывать то, что в этом случае надо смотреть именно на комоды, а не на ящики. Вместо этого я просто покажу что происходит конкретно на практике. Я написал простой скрипт на питоне, который один в один моделирует ситуацию описанную в условии. Вот этот скрипт, можете сами запустить или проверить его на соответствие условию задачи:
[collapse]

import random
print "start"
comods = [["gold", "gold"], ["silver", "silver"], ["silver", "gold"]]
experiment_counts = 100000
successful_experiments_count = 0
experiment_index = 0
while experiment_index

    comod_index = random.randint(0, 2)
    if(comods[comod_index][0] == "silver"):

    experiment_index += 1
    if(comods[comod_index][1] == "gold"):
      successful_experiments_count += 1

print "result: " + str(successful_experiments_count*100/experiment_counts) + "%"
raw_input()

[/collapse]

А теперь конкретно по результатам:
При 100-кратном выполнении эксперимента вероятность нахождения золотой монеты в одном комоде с ранее найденной серебряной монетой у меня колебалась от 43% до 59%.
При увеличении количества экспериментов в одном цикле разброс естественно сужался.
И, в конечном счете, при проведении 100000 экспериментов практически каждый запуск программы показывал 50% (ну пару раз было 49%).
Ну так вот, теория вероятности и ее поклонники, где же ваша железобетонная 1/3? Выкусите у здоровой логики и практики!

В своём решении Вы опирались на количество оставшихся комодов, а не ящиков. Вы изначально пошли по другому пути, поэтому и получили такой ответ. В этом и суть парадокса.

После того как мы обнаружили серебряную монету, у нас есть три возможных ситуации (жирным шрифтом выделена монета, которую мы обнаружили, а курсивом – монета, которая лежит в соседнем ящике):
(sliversliver), (sliver – gold)
(sliversliver), (sliver – gold)
(sliver – sliver), (slivergold)

Что касается теории вероятностей, то это обыкновенный раздел математики. А математика – это наука. Не думаю, что наука каким-то образом противопоставляет себя "здоровой логике и практике".

блин, настройте спам-фильтр на сайте, невозможно ответить!

Все, понял)

В общем и целом признаю свою ошибку, был невнимателен.
Но ответ к задаче очень плохо подан. Он скорее больше путает, чем объясняет =(

Рад, что помог разобраться, потому что сам думал, что не очень понятно изложил суть решения.
И согласен насчёт спам-фильтра.

короче ну вас с вашими спам фильтрами, ниче не буду объяснять. Комментарии кривые до жути

Ну вы прям ботаны...Считаем:
1. Если мы попали в ящик и нашли серебро - значит мы в комоде Б или В (вероятность 75% что мы в комоде Б , надеюсь не нужно объяснять что в комоде А только золото.
2. Рас шансы попасть в комоды были 75 на 25 и у нас остаётся только 1 ящик с золотой монетой из 5 , но в 75 процентах будет точно 0, 25 делим на 2 оставшихся шкафа и получаем 12,5 процентов
3. Получаем 12,5 % вероятность найти золотую монету если открыть другой ящик Этого же комода!!!

Млин, я рассчитал для 3 ящиков. Если в комоде 2 ящика то вероятность 33,3%(вероятность попадания в комод Б -66% , в комод В - 33,при попадании в комод Б мы имеем 0 шансов на золото , а в В -100% - значит 33 % правильная вероятность.

не надо считать шансы на попадания в комод с золотом. надо считать вероятность того, что во ВТОРОМ ящике комода, если в ПЕРВОМ ящике серебро. вероятность 1/2 - либо второй ящик комода Б, либо второй ящик комода В (ведь первый ящик открыт уже и там серебро)

обозначение "А" "Б" и "В" условное, вы не знаете где что лежит иначе первый комод теряет смысл в корне, а судя по вашей логике, если вы знаете что в первом (А) комоде только золото тогда вы должны знать что и в других, а естестно и знали от куда вытянули серебро....если это комод "Б", то нужно тянуть золото с комода "В" тоесть 1/2))...ну а если вы вытянули серебро с комода "В" так это вообще 100% удачи)))...Три комода(6 ящиков) 3 золота и 3 серебра...открыли на угад один ящик( комод может быть как "А" так и "Б" и "В"), вытянули серебро, тоесть у нас осталось 5 ящиков, 3 золота и 2 серебра!!!...3из 5!

совсем не то.
Комод А исключаем.
Остается либо второй ящик в комоде Б, либо второй ящик в комоде В. Вероятность 1/2. Всё просто.

Да, и название - Парадокс Монти-Холла.

Страницы