Ярмарочная игра в кости

Игра в кости, о которой пойдет речь, весьма популярна на ярмарках и карнавалах, но, поскольку игроки редко приходят к согласию относительно своих шансов на выигрыш, я предлагаю ее в форме простой задачи по теории вероятностей.

На прилавке лежат шесть квадратов, помеченных цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Игрокам предлагается на любой из квадратов положить любое количество денег. Затем бросаются три кости. Если номер вашего квадрата выпадает только на одной из костей, то вы получаете ваши деньги назад, и к ним прибавляется еще такая же сумма. Если ваш номер выпадает на двух костях, то вы получаете назад ваши деньги плюс сумму, вдвое большую, чем та, которую вы ставили на квадрат. Если же ваш номер выпадает на всех трех костях, то кроме ваших денег вы получаете сумму, втрое превышающую вашу ставку. Разумеется, если номер вашего квадрата не выпадает ни на одной из костей, то все деньги забирает владелец аттракциона.

Поясним это на примере. Допустим, вы поставили 1 доллар на квадрат № 6. Если на одной из костей выпадает 6, то вы получаете назад ваш доллар да еще 1 доллар впридачу. Если 6 выпадает на двух костях, то вы получаете назад ваш доллар плюс еще 2 доллара. Если же 6 выпадает на всех трех костях, то вы забираете назад ваш доллар и получаете еще 3 доллара.

Игрок может рассуждать так: шанс моего числа выпасть на одной кости составляет 1/6, но поскольку костей три, то он повышается до 3/6, то есть до 1/2; значит, эта игра честная. Разумеется, в интересах владельца аттракциона, чтобы так думал каждый.

У кого в этой игре предпочтительнее шансы — у владельца аттракциона или у игрока, и насколько они велики?

Ответ: Из 216 равновероятных исходов бросания трех костей вы выиграете только в 91 случае и проиграете в остальных 125. Таким образом, ваш шанс выиграть по крайней мере столько же, сколько вы поставили (то есть вероятность выигрыша), равен 91/216, тогда как шанс проиграть равен 125/216. Если бы на костях всегда выпадали различные числа, то игра стала бы честной. Предположим, что на каждом квадрате лежит по 1 доллару. Тогда, выбросив три кости, на каждой из которых выпадают разные числа, вла­делец аттракциона получит 3 доллара и заплатит тоже 3 доллара. Но на двух одинаковых числах владелец зарабатывает 1 доллар, а на трех одинаковых числах - 2 доллара. Если игра длится достаточно долго, то владелец аттракциона может надеяться на каждом долларе игрока независимо от того, куда и сколько денег тот ставит, заработать около 7,8 цента. Таким образом, в среднем доход владельца аттракциона составляет 7,8% общей суммы ставок.

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.7 (15 оценки)


Комментарии

У меня другое решение: всего наборов троек из 6 костей- 56 без учета порядка их выпадения и с учетом повторений. Какую бы цифру мы ни выбрали, она встречается в этих наборах 21 раз. Поэтому шанс угадать из трех бросаний костей не 1/6, а 21/56, т.е. 0,375. Это немного меньше, чем 0,42 у автора. Дальше, из 21 появления той или иной цифры 6 повторяются дважды или трижды, т.е. 6/21 или 0,286, таким образом вероятность сорвать большой куш при повторениях загаданной цифры 2 или 3 раза 0,375*0,286=0,11.
В любом случае владелец аттракциона в выигрыше. Если я где-то ошибся, пожалуйста, поправьте.

Нет, в данном случае автор прав: вероятность проигрыша действительно составляет 125/216. Это вычисляется следующим образом. Представьте, что Вы поставили на квадрат №6. Таким образом, Вам необходимо, чтобы хотя бы в одном наборе троек была хотя бы одна "шестёрка". В этом случае Вы выигрываете, причём не имеет значение размер выигрыша, потому что на расчёт вероятностей выигрыша и проигрыша он не влияет. А число наборов троек, в которых "6" не встречается, равно 5*5*5 = 125. Ведь без "6" на каждой из трёх костей может выпасть од 1 до 5 очков. Тем самым, вероятность проигрыша равна 5*5*5/6*6*6 = 125/216. А вероятность выигрыша (216-125)/216 = 91/216.

Ищите матожидаение суммы выигрыша организатора -

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%285%2F6%29%5E3*1-3*%285%2F6%29%5E2...
получается вроде пол доллара при ставке 1 доллар выигрыш организатора.

Когда ставка игроком сделана - то в 125 случаях у организатора выигрыш (+1) доллар,
в 75 случаях выигрыш 0 долларов,
в 15 случаях выигрыш (-1) доллар,
в 1 случае выигрыш (-2) доллар.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%285%2F6%29%5E3*1-3*%285%2F6%29%5E2... - при таких ставках организатор проигрывает.

Всё верно, только организатор проигрывает 1 доллар не в 15 случаях, а в 25.
Например, игрок поставил на квадрат №6, и на одной из костей выпало 6 очков. Значит, чтобы ему выиграть ровно 1 доллар, на двух других костях должно выпасть от 1 до 5 очков.
Соответственно, число случаев выигрыша 1 доллара игроком - 5*5 = 25.
Таким образом, получаем следующие значения вероятностей выигрыша разных сумм:
-1 доллар - 125/216 или около 57,9%
0 долларов - 65/216 или около 30,1%
1 доллар - 25/216 или около 11,6%
2 доллара - 1/216 или менее 0,5%

Если выпадет три одинаковых числа, то владелец заработает тоже 1 доллар.

Не могу понять по как получаются 7,8% Не подскажете?

3*(1/6*5/6*5/6) выпадает только на одной из костей
3*(1/6*1/6*5/6) выпадает на двух костях
(1/6*1/6*1/6) выпадает на всех трех костях
3*(1/6*5/6*5/6)* 2X + 3*(1/6*1/6*5/6)* 3X + (1/6*1/6*1/6)*4X =199/216X~=0,9213X
(1-0,9213)*100%=7,87%

По формуле комбинаторики вариантов выпадения 3 номеров из 6 без учета порядка и с повторами 56. При этом выпадение одной любой цифры из 6 равно 15/56, любой пары - 5/56, трех одинаковых 1/56. Суммарный благоприятный вариант для игрока 21/56, или 0,375. Поэтому организатор игры в выигрыше.