Злой крупье

Некоторое количество (больше одного) человек, каждый из которых вначале имеет 3050 рублей, играют в казино.
Каждый раунд игры заключается в следующем:
1. Все игроки отдают по 100 рублей крупье.
2. Крупье раскидывает карты и определяет среди игроков одного проигравшего.
3. Проигравший раздаёт свои деньги поровну остальным игрокам и выходит из игры.
Игра продолжается до тех пор, пока в игре не останется один игрок - победитель.
Крупье денег не возвращает.

Вопрос: При каком начальном количестве участников выигрыш победителя будет максимальным и чему равен этот максимальный выигрыш? 

Ответ: 30 игроков, 45100 рублей.

Пусть начальное количество игроков равно N. Тогда за время игры они отдадут крупье: в 1-м раунде N*100 рублей, во 2-м раунде(N-1)*100 рублей, ... в последнем (N-1)-м раунде 2*100 рублей. Всего же они отдадут крупье 100*(N+N-1+N-2+...+2) рублей.

Сумму S=N+N-1+N-2+...+2 можно найти как сумму арифметической прогрессии, а можно сложить с той же суммой в обратном порядке, получив 2S=(N+2)+(N+2)+...+(N+2), где количество слагаемых совпадает с количеством туров игры (N-1). То есть 2S=(N-1)(N+2), следовательно, S=(N-1)(N+2)/2=1/2*(N2+N-2).

Количество денег, оставшихся у последнего игрока, равно начальному количеству денег у всех игроков в сумме минус 100*S рублей, которые были отданы крупье: 3050*N-100*1/2*(N2+N-2)=3000*N-50*N2+100. Воспользовавшись школьным курсом математики для нахождение максимума функции получаем, что максимальный выигрыш равен 45100 рублей и достигается при N=30.

Ваша оценка: Нет Средняя: 4.4 (10 оценки)


Комментарии

Условие задачи, как в популярной песни АВВА - The Winner Takes It All (Победителю достается все), с той лишь разницей, что всякий раунд крупье обогащается на 100 руб. с каждого игрока. В такой игре количество партий меньше на 1 общего количества игроков. Следовательно, важно не допустить превышение стоимости первоначальной партии (дохода крупье) над бюджетом вводимого игрока, т.к. не имеет смысла вводить игрока для лишней партии, за которую крупье придется уплатить больше, чем вклад этого введенного игрока в выигрышный фонд. Поэтому в данной задаче очевидно, что максимальное общее количество игроков не должно превысить 30 чел. (3 050 руб./100руб.).

Максимум функции достигает на кол-ве игроков 29,5, поскольку людей не принято считать по "кускам" то возьмем кол-во участников именно 30, почему не 29 смотрим ниже:

если брать 30 игроков выигрыш составит 29*3050-(100*30+100*29+100*28...+100*2)=42050 (поскольку "начальный банк 3050" победителя нельзя считать его выигрышем);

если взять 29 игроков выигрыш составит 42 000

В итоге кол-во игроков рассчитано верно, хоть в приведенных расчетах закралась ошибка в формулах (сетаю на опечатку автора). А вот вторая часть ответа про максимальный выигрыш неверна поскольку взнос участника не может быть его выигрышем и должен вычитаться из конечного результата.

в задаче требуется определить выигрыш, а не прибыль игрока по результатам игры. Поэтому ответ автора правильный - 45100!

тогда выходит он свои деньги у себя же и выиграл

если Вы, допустим, выиграли по лотерейному билету ден.ср-ва, равные стоимости билета, то это вовсе не означает, что билет безвыигрышный, просто Вы не получили прибыль, а не не получили выигрыш.

Интересен тот факт, что если бы в каждом раунде игроки отдавали крупье по 5 рублей, а не по 100, то максимальный выигрыш победителя составил бы 928730 рублей, а оптимальное количество игроков равнялось бы 609 или 610 (равнозначные варианты). В этом случае необходимо рассмотреть функцию 3047,5*N-2,5*N2+5, а её максимум достигается при N = 609,5.
Таким образом, игра проходила бы очень долго, но это бы того стоило. Кстати, и крупье бы заработал прилично (почти столько же). Правда, использовать обычную колоду карт не получиться.

*не получится

Через 2,5 месяца заметил ошибку в слове, но лучше поздно, чем никогда :)