По одной цифре результата определить остальные три

Умножим некоторое двузначное число с одинаковыми цифрами на 99. Понятно, что в произведении должно получиться четырехзначное число, но нам известна только третья цифра результата. Возможно ли, зная эту цифру, восстановить весь результат?

Допустим, сохранившаяся цифра - 2. Каким будет весь результат? 

Ответ: Рассмотрим таблицу всех возможных результатов:

11 х 99 = 1 0 8 9
22 х 99 = 2 1 7 8
33 х 99 = 3 2 6 7
44 х 99 = 4 3 5 6
55 х 99 = 5 4 4 5
66 х 99 = 6 5 3 4
77 х 99 = 7 6 2 3
88 х 99 = 8 7 1 2
99 х 99 = 9 8 0 1

Проанализируем следующие свойства этих произведений:

1. Первая цифра результата всегда дополняет третью цифру до девяти, а вторая также дополняет последнюю цифру дополняет до девяти.

2. Вторая цифра всегда меньше первой на 1.

3. Цифры множимого совпадают с первой цифрой произведения.

Знание этих свойств позволяет определить результат любого из рассмотренных умножений по одной его цифре. Нам известно, что третья цифра результата равна 2. Согласно свойству 1, первая цифра равна 7. Согласно свойству 2 вторая цифра равна 6 . Согласно свойству 1 четвертая цифра равна 3. Таким образом, искомое число 7623. Свойство 3 позволяет определить сразу и множимое, не производя деления произведения на множитель. В данном случае оно равно 77.

Ваша оценка: Нет Средняя: 4.3 (26 оценки)


Комментарии

При даном условии произведения 99*аа второй его цифрой (с конца) может получиться 2, если к сумме цифр произведения 9*а=вс, прибавив "с", на конце получается 2, т.е. в+с+с=...2. Это может быть лишь в одном случае: 9*7=63, 6+3+3=...2.

мотодом тыка!))) 7623

легкая задача,

Согласно этим правилам нет необходимости выяснять всю цифру результата, достаточно от полученной цифры отнять 1 и получим множимое. Тоесть если нам говорят 5,то ответ 44.

Достаточно из 9 вычесть третью цифру искомого числа, что бы узнать цифры множимого числа, т.е. в нашем случае это цифра 7 (а число - 77), т.к. 9-2=7. И так с любым числом при заданном условии задачи.

При умножении любого однозначного числа X на 99 , X=1..9, получается число (x-1)*100+9*10+(10-X).
Отсюда, используя правило арифметического графического умножения в столбик, несложно вывести, что при произведении на 99 любого двузначного числа 10X+Y, X=1..9, Y=1..9 – получается четырехзначное число :
1000X+ (Y-1)*100+(9-X)*10+ (10-Y) (Ф1)
В случае, когда двузначное число оканчивается на 0, то есть Y=0, то его произведение этого числа на 99 дает результат :
(X-1)*1000+9*100+(10-X)*10. (Ф2)

Таким образом формулы (Ф1) и (Ф2) сводят умножение двузначных чисел на 99 к элементарному сложению и вычитанию. И чтобы найти двузначные числа, произведения которых на 99 дают конкретно заданный результат ( в нашем случае – третья цифра слева равняется 2) – нужно решить уравнения, полученные из формул (Ф1) и (Ф2):
Из (Ф1) :
9-x=2
X=7
Ответ : 70+Y, Y=1..9
Из (Ф2) :
10-X=2
X=8
Ответ 80.
Значит при произведении двузначных чисел 71,72,…,79,80 и только их на 99 – третья цифра слева в результате будет 2. Если учитывать, что первая цифра равна второй, то это число 77 , а результат получим, подставляя X=7 и Y=7 в Ф1. Он равен 7623

Гараздо лаконичнее все тоже самое уже излагалось ниже.

Я специально хотел свести умножение на 99 к элементарным действиям, так как это решает целый спектр задач, подобных данной.. Еще в древнем Вавилоне существовали таблицы по перемножению многозначных чисел, записанных в 64-чной системе счисления. Они ведь их не перемножали... Проще бы было, да, если умножение числа на 99 представлять как умножение на 100 минус умножаемое число...

1)число * 99= число *100-число
в данном случ. число -ХХ
След-но: ответ ХХ00-ХХ =_ _ 2 _
2)0-Х =2 (если не занимаем 10, при вычитании единиц)
0-Х-1=2 (если занимаем),
т. к первое выраж.:0-Х, то нам придётся занимать 1,
след.-но : Х=7
3)ХХ=77
Результат:7700-77=7623
Ответ: число -77, рез.умнож.-7632

Не менее интересный факт получается при умножении аналогичных трёхзначных чисел:
111*999 = 110889
222*999 = 221778
333*999 = 332667
444*999 = 443556
555*999 = 554445
666*999 = 665334
777*999 = 776223
888*999 = 887112
999*999 = 998001
Можно обратить внимание, что результаты умножения, в которых один из множителей равен 111 или 999, 222 или 888, 333 или 777, 444 или 666, попарно обладают некоторыми особенностями:
1. Первая, третья, четвёртая и шестая цифры в полученных шестизначных числах меняются местами: первая становится шестой и наоборот, а третья становится четвёртой и наоборот. Их сумма во всех девяти случаях равна 18.
2. Вторая цифра равна первой, а в сумме с пятой цифрой составляет 9. Сумма всех шести цифр во всех полученных числах равна 27.