Математические задачи - Вероятности

Понедельники

Какова вероятность, что в 31-дневном месяце будет 5 понедельников?

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.5 (4 оценки)

Муравьи в треугольнике

В трех углах равностороннего треугольника находится по муравью. Каждый из муравьев начинает двигаться в другой случайно выбранный угол по прямой. Какова вероятность того, что ни один из муравьев не столкнется с другим муравьем?

Ваша оценка: Нет Средняя: 5 (2 оценки)

Сравнить вероятности

У женщины и мужчины (не родственников) - по двое детей. По крайней мере один из детей женщины - мальчик; старший ребёнок мужчины - мальчик. Равна ли вероятность того, что у женщины два мальчика, вероятности того, что у мужчины два мальчика?

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.6 (13 оценки)

Старая тетя Мотя

В воскресенье к нам должна прийти пообедать тетя Мотя. Моя жена отправилась куда-то на машине. Захотела она просто проехаться или отправилась за тетей Мотей, которая не может добраться к нам без посторонней помощи,— об этом я абсолютно ничего не знаю. Разумеется, я мог бы на второй машине сам отправится за нашей старой тетушкой, которая живет в 10 км от нас, но мне не хочется гонять машину понапрасну. Конечно, я мог бы позвонить тете по телефону и поехать за ней только в том случае, если она не уехала с моей женой и находится дома. Но, к сожалению, тетушка очень плохо слышит, и я заметил, что в среднем два раза из пяти она не берет трубку, даже когда находится дома. Однако втрое хуже совсем не заехать за тетей Мотей, чем заехать за ней понапрасну…

Итак, я могу поступить тремя способами:
1) не ездить за тетей Мотей;
2) поехать за ней;
3) позвонить ей по телефону и поехать за ней только в том случае, если она ответит.
 

А как бы вы поступили на моем месте?

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.3 (29 оценки)

Случайный ответ

Если Вы выберете ответ на этот вопрос случайным образом из приведенных ниже четырех вариантов, то какова вероятность того, что Вы выберете правильный ответ?
a) 25%
b) 50%
c) 66,67%
d) 25%

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.7 (100 оценки)

40 прохожих

Опрашивают 40 наугад выбранных прохожих. Если среди опрошенных найдутся хотя бы двое, празднующие свой день рождения в один и тот же день года, вы проигрываете. Если все дни рождения различны — выигрыш ваш.

Приняли бы вы участие в подобном пари, особенно, если ставка достаточно высока?

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.9 (23 оценки)

Листы, конверты, два стола

На двух столах (X и Y) лежат запечатанные конверты. Внутри каждого конверта находится один лист цветной (жёлтой или красной) бумаги, сложенный вчетверо. На столе X лежат 6 конвертов, в пяти из которых находятся жёлтые листы, а в одном – красный. А на столе Y лежат 4 конверта: в одном – жёлтый лист, в остальных трёх – красные.

Вскоре кто-то берёт с каждого стола по 3 конверта наугад (не зная, какого цвета листы внутри) и меняет их местами, т.е. те конверты, которые лежали на столе X, теперь лежат на столе Y, и наоборот. Причём их количество на каждом из столов не изменилось: 6 и 4 соответственно.

Какова вероятность того, что теперь на столе Y лежат 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным?

 

P.S. Задача предоставлена пользователем Artem of 93, которому отдельное спасибо за толковые комментарии к задачам

Ваша оценка: Нет Средняя: 4.5 (16 оценки)

Метеорология

В наших родных краях дождь идет в среднем лишь один день из трех. А наши чудо-метеорологи, в силу свойственного им пессимизма, ошибаются в прогнозах в половине случаев, когда имеет место хорошая погода, но всего лишь один раз из пяти в дождливую погоду.

Каждое утро моя подруга Юля на весь день уходит из дому. Если она оставит зонтик дома в дождливый день, то она промокнет, а если не будет дождя, а она возьмет зонтик, то ей придется зря носить с собой зонтик, впрочем, второе она считает вдвое менее неприятным, чем первое.

«Стоит ли мне,— задает она себе естественный вопрос,— слушать каждое утро радио и брать с собой зонтик лишь в том случае, когда прогноз говорит о том, что в нем есть нужда? А не лучше ли брать с собой зонтик ежедневно или, напротив, не брать его никогда?»

Что бы вы посоветовали моей подруге Юле? 

Ваша оценка: Нет Средняя: 4.6 (14 оценки)

Парадокс Бертрана

В трех одинаковых комодах по два ящика в каждом. В каждом ящике комода А - золотая монета, в каждом ящике комода Б - серебряная монета, а в комоде В - серебряная монета в одном ящике и золотая - в другом. Вы открываете один из шести ящиков наугад и находите в нем серебряную монету.

Какова вероятность того, что в другом ящике этого же комода находится золотая монета?

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.2 (42 оценки)

На шахматной доске

На стандартной шахматной доске восемь на восемь клеток случайным образом расставлены две фигуры - ладья и король. Каковы шансы, что ладья бьет короля?

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.6 (25 оценки)

Ярмарочная игра в кости

Игра в кости, о которой пойдет речь, весьма популярна на ярмарках и карнавалах, но, поскольку игроки редко приходят к согласию относительно своих шансов на выигрыш, я предлагаю ее в форме простой задачи по теории вероятностей.

На прилавке лежат шесть квадратов, помеченных цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Игрокам предлагается на любой из квадратов положить любое количество денег. Затем бросаются три кости. Если номер вашего квадрата выпадает только на одной из костей, то вы получаете ваши деньги назад, и к ним прибавляется еще такая же сумма. Если ваш номер выпадает на двух костях, то вы получаете назад ваши деньги плюс сумму, вдвое большую, чем та, которую вы ставили на квадрат. Если же ваш номер выпадает на всех трех костях, то кроме ваших денег вы получаете сумму, втрое превышающую вашу ставку. Разумеется, если номер вашего квадрата не выпадает ни на одной из костей, то все деньги забирает владелец аттракциона.

Поясним это на примере. Допустим, вы поставили 1 доллар на квадрат № 6. Если на одной из костей выпадает 6, то вы получаете назад ваш доллар да еще 1 доллар впридачу. Если 6 выпадает на двух костях, то вы получаете назад ваш доллар плюс еще 2 доллара. Если же 6 выпадает на всех трех костях, то вы забираете назад ваш доллар и получаете еще 3 доллара.

Игрок может рассуждать так: шанс моего числа выпасть на одной кости составляет 1/6, но поскольку костей три, то он повышается до 3/6, то есть до 1/2; значит, эта игра честная. Разумеется, в интересах владельца аттракциона, чтобы так думал каждый.

У кого в этой игре предпочтительнее шансы — у владельца аттракциона или у игрока, и насколько они велики?

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.8 (14 оценки)

Как поделить приз?

Барри и Бенни дошли до финала соревнований по бильярду, который состоит из пяти партий. Кто победит в трех из них, тот получит приз $300. Барри выиграл первую партию, Бенни вторую, а Барри третью, но на этом матч был остановлен, поскольку сломалась пожарная сигнализация.

Как нужно поделить приз между Барри и Бенни?

Ваша оценка: Нет Средняя: 3 (16 оценки)

Вероятности

В 1971 году психологи Дэнни Канеман и Амос Тверски решили помучить профессоров статистики вопросами, сформулированными не как статистические вопросы. Один был приблизительно таков: представьте, что вы живете в городе, где есть два роддома - один большой, другой маленький. В определенный день в одном из этих роддомов среди новорожденных оказывается 60% мальчиков. В каком роддоме это скорее всего могло бы произойти? 

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.6 (105 оценки)

Воспитание математикой

- Hу, нет, - сказал как-то математик своему четырнадцатилетнему сыну, - на этой неделе я не собираюсь давать тебе лишние десять долларов. Однако, если хочешь, могу предложить одно рискованное предприятие.

Мальчик тяжело вздохнул.

- Что ты придумал на этот раз ?

- У меня есть десять хрустящих новеньких десятидолларовых банкнот и десять бумажек по одному доллару; они тоже новые и хрустят. Все эти банкноты ты можешь распределить как угодно, но так, чтобы получилось два набора. Один набор положим в шляпу А, второй в шляпу Б. После этого я завяжу тебе глаза и, перемешав содержимое внутри каждой шляпы, положу одну шляпу справа от камина, а вторую слева. Ты должен будешь взять наугад одну из шляп и вынуть из нее одну бумажку. Если вынешь десятку - она твоя.

- А если нет ?

- Будешь без разговоров целый месяц стричь газон.

Мальчик согласился. Как он должен распределить по шляпам двадцать бумажек, чтобы максимально увеличить вероятность вытянуть десять долларов, и чему будет равна эта вероятность ? 

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.4 (160 оценки)

Потерянная монета

У вас было 50 монет на общую сумму в 1 доллар. Вы играли с ними, подбрасывая их в руке. И вдруг одна монетка упала в раковину и провалилась. Какова вероятность того, что это была монетка в 25 центов? 

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.3 (75 оценки)

Сломанная указка

На школьном уроке учитель уронил тонкую пластиковую указку, которая после удара о пол раскололась на три части. Жаль, конечно. Но учитель не растерялся и задал вопрос о том, сколько в среднем потребовалось бы сломать указок, чтобы из кусков от одной указки получился треугольник?

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.1 (36 оценки)

Изумруды на ощупь

В мешке находится одинаковое количество зеленых и желтых изумрудов, на ощупь их не отличишь. Делаем так: не подглядывая, один раз вынимаем сто изурудов, другой - десять. В каком случае шанс вынуть одинаковое количество изумрудов того и другого цвета больше?

Ваша оценка: Нет Средняя: 4.5 (23 оценки)

Второй ребенок

Мистер Смит сообщает, что у него двое детей и по крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита тоже мальчик?

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.1 (36 оценки)

Пари

Предположим, что я бросаю монету и согласен уплатить вам доллар, если выпадет орел. В случае же выпадения решки я бросаю монету второй раз и плачу вам два доллара, если при втором подбрасывании выпадет орел. Если же снова выпадет решка, я бросаю монету в третий раз и плачу вам четыре доллара, если при третьем подбрасывании выпадает орел. Короче говоря, с каждым разом я удваиваю выплачиваемую сумму. Бросать монету я продолжаю до тех пор, пока вы не остановите игру и не предложите мне расплатиться. Какую сумму вы должны заплатить мне, чтобы я согласился играть с вами в эту «одностороннюю игру», а вы не остались в убытке? 

Ваша оценка: Нет Средняя: 4.2 (11 оценки)

Парадокс с днями рождения

Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? 

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.8 (21 оценка)

Страницы