Изумруды на ощупь

В мешке находится одинаковое количество зеленых и желтых изумрудов, на ощупь их не отличишь. Делаем так: не подглядывая, один раз вынимаем сто изурудов, другой - десять. В каком случае шанс вынуть одинаковое количество изумрудов того и другого цвета больше?

Ответ: Вероятность вынуть одинаковое количество изумрудов разного цвета больше тогда, когда вынуто их меньшее общее количество. Представим, что вынуто по N зеленых и желтых изумрудов. Пронумеровав их, получим, что возможно (2N)! способов вынуть изумруды безотносительно к их цвету. Среди вынутых изумрудов каждого цвета возможно по N! способов извлечения их из мешка. Последние не влияют на результат, поэтому различных вариантов появления по N изумрудов разного цвета будет (2N)!/(N!*N!). Очевидно, что вероятность появления любого варианта составляет (0,5)2N. Отсюда полная вероятность вынуть равное количество зеленых и желтых изумрудов PN = (1/(N!*N!)) *(2N!/(N!*N!)). Непосредственное сравнение PN и PN+1 показывает, что вероятность убывает с увеличением N. Следовательно, искомое событие более вероятно для меньшего количества вынутых из мешка изумрудов.

Ваша оценка: Нет Средняя: 4.5 (23 оценки)


Комментарии

Не согласен, если , предположим в мешке 102 изумруда (по 51 каждого цвета), то вероятность того, что остались изумруды разного цвета будет выше если вынуть 100 шт.,т.е. чем больше разность между вынутыми и оставшими изумрудами, тем больше эта вероятность(надеюсь меня поняли)

102 не может быть),минимум 110,но вообще ,если учесть то,что их одинаковое количество,можно сказать,что если в той 100,например больше желтых,то в следующих 10,шанс больше вытащить больше зеленых.

Все зависит от того, какое общее количество изумрудов лежит в мешке. Количество вытянутых зеленых (или желтых) изумрудов имеет гипергеометрическое вероятностное распределение.
После некоторых преобразований формулы расчета вероятности можно заметить, что вероятность вытянуть n изумрудов (n/2 из которых зеленые) из общей кучи N симметрична относительно N/2. Чем больше |N/2-n|,тем больше вероятность.
Решая неравенство |N/2-10|>|N/2-100|, получаем N>110.
То есть, при общем количестве изумрудов, большем 110, шанс вытянуть равное количество из 10 штук выше, чем из 100.
Если же изумрудов будет, к примеру 102, то шанс будет выше для выборки из 100 изумрудов.

Жёлтые изумруды называются гелиодорами.

короче тупая задача. я согласен, что вероятность зависит от кол-ва изумрудов.

Если мы вынимаем 10 изумрудов, то можем получить 11 возможных вариантов из которых нас устроит один, то есть 1\11, если вынем 100, то возможно 101 и устроит 1 вариант, то есть 1\101.

При извлечении 100 изумрудов получится 50 пар из них, и только одна пара будет удовлетворять условию одинаковости: 50 зел.+50 жел., 51-49,52-48,53-47 и т.д. Когда вынимаем 10 изумрудов, то получится 5 пар: 5-5,4-6,3-7,2-8,1-9, из которых одна удовлетворяет условию. Вероятность одинаковых при 100 равна 1/50, при 10 - 1/5.

Согласен

Вы ошибаетесь.
Во-первых, не 50 пар, а 101: 100-0, 99-1, 98-2, ... , 49-51, 50-50, 51-49, ... , 2-98, 1-99, 0-100.
Соответственно, во втором случае, получим 11 пар, а не 5.
Во-вторых, что касается вероятностей, которые Вы получили, то они были бы верными, если бы у нас в мешке было бы ровно 100 или ровно 10 изумрудов. А по условию задачи их точно более 100.

Беру своё второе замечание назад: невнимательно прочитал условие задачи.

Я не учёл, что в мешке находится одинаковое количество зелёных и жёлтых изумрудов.

Но всё равно: 1/101 и 1/11 не являются верными значениями вероятности, поскольку они не учитывают, что пары «50-50», «0-100» и т. д. могут быть составлены не единственным способом. Например, если в мешке 300 изумрудов (по 150 каждого цвета), то число способов вытащить, например, 100 жёлтых изумрудов, равно числу сочетаний из 150 по 100.

Рассчитаем вероятности для обоих случаев по формуле Бернулли:
Pn(k) = Cnkpk(1–p)n-k, где:
n = число вытащенных изумрудов (10 или 100),
p = вероятность вытащить один изумруд определённого цвета (p = 0,5, т.к. в мешке равное количество зелёных и жёлтых изумрудов),
k = количество вытащенных изумрудов одного цвета (5 или 50).
1) Если n = 100, то искомая вероятность примерно равна 0,0796;
2) Если n = 10, то искомая вероятность примерно равна 0,2461.
Значит, действительно, чем меньше количество вытащенных изумрудов, тем выше вероятность обнаружить среди них половину изумрудов одного цвета. И это не зависит от количество изумрудов в мешке, так как в мешке находится равное количество зелёных и жёлтых изумрудов.

A esli iznachalno v meshke bilo 100 izumrudov?
Togda veroyatnost 1-ogo sobitiya 1, togda kak 2-go