Последний в очереди

Идет посадка в 100-местный самолет. В очеpедь выстpоились 100 пассажиpов. Пеpвой стоит сyмасшедшая стаpyшка. Зайдя в салон, она садится на любое слyчайно выбpанное место. Остальные пассажиpы - ноpмальные люди: каждый из них, зайдя в салон, садится на свое (обозначенное в билете) место, если оно свободно, и на любое из свободных - в пpотивном слyчае. Какова веpоятность, что последний в очеpеди пассажиp сядет на свое место? 

Ответ: Пусть имеем N пассажиров. Для N=2, очевидно, вероятность равна Р(2)=1/2. Для больших значений N рассмотрим рекурсивную схему: Пусть для определённости k-й пассажир должен по билету садиться на место номер N+1-k. Сумасшедшая старушка с вероятностью 1/N сядет на своё N-е место. Тогда все рассядутся на свои места С вероятностью 1/N старушка может сесть на место номер m в диапазоне от 2-го до N-1-го. Тогда задача превращается в аналогичную с числом пассажиров равным m. При этом пассажир, который должен был садиться на m-ное место превращается в сумасшедшую старушку приписанную к месту номер N (к последнему свободному месту, которое было приготовлено для первой старушки). С вероятностью 1/N старушка сядет на первое место. Тогда последний пассажир попадёт на своё место только причинив ей тяжкие телесные повреждения. То есть имеем формулу: Р(N) = 1/N * (1 + Р(N-1) + Р(N-2) + ... + Р(2)) Воспользовавшись достижениями современного научно-технического прогресса получаем, что Р(100)=1/2 (как, впрочем, и для любого другого значения N>1)

Ваша оценка: Нет Средняя: 4 (20 оценки)


Комментарии

Ответ неверный. Автор ответа почему-то считает, что за старухой сразу войдет тот, на чье место она села (тогда его ответ справедлив), но это в задаче не сказано.
Ответ разбивается при проверке уже на четырех пассажирах.
Давайте проверим, учитывая все варианты посадки. Будет долго, но правильно. Старуха (С) входит первой. У нее 4 варианта посадки:
1. На свое место. Тогда я (я - последний пассажир) точно сяду. (1/4*1)
2. На мое место. Тогда я точно не сяду. (1/4*0)
3. На место пассажира А. Тогда появляются варианты:
3.1 За ней входит А у него три кресла свободных, куда он может сесть:
3.1.1 Мое, тогда я не сяду. (1/4*1/3*0)
3.1.2 Старухино, тогда я точно сяду. (1/4*1/3*1)
3.1.3 Место пассажира В. Тогда у пассажира В 2 кресла, куда он может сесть:
а) Мое, я не сяду (1/4*1/3*1/2*0)
б) Старухино, я сяду (1/4*1/3*1/2*1)
3.2 А вот теперь самое интересное: бабка в кресле пасс. А, а за ней сразу входит пассажир В. Он по условиям задачи садится в свое кресло, а когда за ним заходит пассажир А он видит в своем кресле бабку, в пассажирском - пассажира В, следовательно у него - только два кресла, куда он может сесть:
3.2.1 Мое, я не сяду (1/4*1*1/2*0)
3.2.2 Старухино, я сяду (1/4*1*1/2*1).
4. Наконец, четвертый вариант посадки старухи - в кресло пассажира В. Можно было это объединить с пунктом 3 под общей вывеской "пассажиры" и умножать не 1/4, а 2/4, но я решил расписать, чтоб нагляднее было. Повторяем все подпункты, входящие в пункт 3, только меняем местами А и В.

Теперь отбрасываем все варианты, когда я не сяду, так как там 0. Считаем остальные.
1/4+1/12+1/24+1/8+1/12+1/24+1/8=18/24=3/4.
Ваш ответ неверен.

Что касается ответа на ЭТУ задачу - он верен.
Поясню проще, чем это описано в ответе к задаче.

Имеем:
1. Если имеется всего 2 пассажира, первый из которых - сумасшедшая бабка, вероятность события, что последний (второй) пассажир сядет на свое место = 1/2 - спорить не будете?

2. Если пассажиров > 2 -
а) тех пассажиров, чьи места бабка не заняла, можно смело отбрасывать - никакой роли они не играют - садятся себе на свои места, не нарушая картины;
б) пассажир, чье место заняла бабка, САМ СТАНОВИТСЯ ЭТОЙ СУМАСШЕДШЕЙ БАБКОЙ ВМЕСТО НЕЕ, ибо его алгоритм действий полностью аналогичен алгоритму действий бабки, при условии, что бабка и пассажир обменяются билетами (для последнего пассажира это не играет никакой роли).

3. По индукции, из 2б) и 2а) получаем п.1.

Но я готов предложить такие усовершенствования этой задачи:

Задача номер 1:

Идет посадка в 100-местный самолет. В очеpедь выстpоились 100 пассажиpов. СРЕДИ ПАССАЖИРОВ стоит сyмасшедшая стаpyшка. Зайдя в салон, она садится на любое слyчайно выбpанное СВОБОДНОЕ место. Остальные пассажиpы - ноpмальные люди: каждый из них, зайдя в салон, садится на свое (обозначенное в билете) место, если оно свободно, и на любое из свободных - в пpотивном слyчае. Какова веpоятность, что последний в очеpеди пассажиp сядет на свое место?

Задача номер 2:

Идет посадка в 100-местный самолет. В очеpедь выстpоились 100 пассажиpов. СРЕДИ ПАССАЖИРОВ стоят две сyмасшедшие стаpyшки. Зайдя в салон, они садятся на любые слyчайно выбpанные СВОБОДНЫЕ места. Остальные пассажиpы - ноpмальные люди: каждый из них, зайдя в салон, садится на свое (обозначенное в билете) место, если оно свободно, и на любое из свободных - в пpотивном слyчае. Какова веpоятность, что последний в очеpеди пассажиp сядет на свое место?

Идет посадка в 100-местный самолет. В очеpедь выстpоились 100 пассажиpов. СРЕДИ ПАССАЖИРОВ стоят две сyмасшедшие стаpyшки. Зайдя в салон, они садятся на любые слyчайно выбpанные СВОБОДНЫЕ места. Остальные пассажиpы - ноpмальные люди: каждый из них, зайдя в салон, садится на свое (обозначенное в билете) место, если оно свободно, и на любое из свободных - в пpотивном слyчае. Какова веpоятность, что последний в очеpеди пассажиp - сумасшедшая бабка? ))

Лучше так: пассажиры садятся на любые свободные места (на свое место в билете нельзя садится если оно свободно)
вот и получается 99 старушек шансы стремятся к 0 :)

на а) пассажиры не обязательно садятся на свои места - возможен вариант, когда старушка займет место следующего за ней, тот - место стоящего за ним и т.д.
на б) пассажир, чье место заняла сумасшедшая бабка не равноценен сумасшедшей бабке - у нее есть возможность сесть на свое место, а у него - нет.

А зачем все так сложно объяснять?
Понятно, что если кто-то (не последний) сядет в кресло старушки, то последний 100% сядет на свое место, а если кто-то сядет на место последнего, то ему уже ничто не поможет. В любом другом случае обязательно есть кто-то, кто решает куда ему сесть. Ежу понятно, что его шансы в любой момент времени одинаков, так как есть одно место старухи и одно место последнего. Следовательно 50 на 50. Это соотношение сохраняется на протяжении всей загрузки.

Ну зачем так сложно????

просто либо сядет, либо не сядет - понятно же что 50% вероятность!!!..

Пусть автор математически покажет, что для 4-х пассажиров, вероятность равна 1/2, тогда я, пожалуй,поверю, что и для ста пассажиров данный ответ верен, а то у меня для 2-х и 3-х выходит 1/2, а для 4-х уже 13/24. (хотя я,увы, был невнимателен на лекциях по ТВ и возможно ошибся)

Можно доказать без индукции.
Очевидно, что в конце последний пассажир может занять либо свое, либо бабкино место, т.к. не может остаться свободным место "нормального пассажира" (его бы заняли). При заходе бабки три варианта:
1) бабка села на свое место - вероятность 1/100 * 100% (пассажир занял свое место).
2) бабка села на место последнего пассажира - вероятность 1/100 * 0% (пассажир не занял свое место).
3) бабка села; бабкино место и место последнего пассажира свободны. Понятно, что для остальных 98-ми пассажиров (исключая последнего) эти два места абсолютно эквивалентны - т.к. оба они "чужие", ничем друг от друга не отличаются. Поэтому эти 98 пассажиров могут с равной вероятностью занять как бабкино, так и "последнее" место.
Получается вероятность 98/100 * 50%

Суммируем: 1/100 * 100% + 1/100 * 0% + 98/100 * 50% = 1/2

не уверн в вашем ответе.
Поясню свою точку зрения.
1) Все зависит от того куда сядет бабка ( Допустим она садится на 40 место, то 1 и 39 пассажир займут свои места а 40 пассажир "превратится" в бабку и случайным образом займет место и вот отсюда начинаются считаться шансы пассажира сесть на свое место.
2) Нужно посчитать сколько таких "бабок" будет на дистанции в 100 пассажиров, другими словами сколько "бабок" будут решать судьбу места 100-го пассажира. Приведу пример:
3) а) Бабка села на 10 место: 1..9 пассажиры сели
б) 10 пассажир т.к место его занятно выбирает другое - (шанс попасть на место нашего героя 1/90) - 11 место
в) 11 пассажир т.к его место занятно 10ым пассажиром - (шанс попасть на место 1/89) отмечу, то что не зная этого также покушается на место нашего героя и уже вторым "пытается" угадать. 11 пассажир сел допустим на 47 место
г) с 12 по 46 места нормальные пассажиры сядут по билетам места свободные 47 превращается в "бабулю" шанс попасть на место 1/52 и т.д
Вообщем нужно знать сколько таких "бабулек" было (считать вероятность) и считать общую вероятность выборов

Здесь в обсуждениях как я понял чел садится на соседнее место и т.д получаается каждые след человек "бабулька" и 98 решает сесть на место настоящей бабули или на место 100 пассажира (50% не спорю), но в условии задачи не сказано что на соседнее место если место занято, а на любое.

А эта задача если брать логически можно переформулировать: в мешке было 100 шаров 1 белый все остальные черные, какой шанс вытащить последний шар белым но это опять же 99 вытаскиваний то есть участвования в роли бабки но ведь может оказаться некоторая группа пассажиров которая не будет вибирать как в примере г).

Вообщем мой вердикт, задача не совсем адекватная, но это все ТВ если есть числа то можно (нужно)считать

дополню представим что почти все места заняты решается сесть предпоследняя "бабулька" шанс Р(А)=1/3 и последняя P(B)=1/2. Шанс что одна из них сядет P(A+B)= 1/3+1/2-1/6=2/3, уже больше 50%, а не известно сколько до них еще "бабулек" решало и с какими вероятностями

ХМ у этой задачи множество решений потому , что бабулька может сесть и на своё место с первого раза или со второво , или с третьего и так далие
так что тут 9801 решение ( 99 в 99 степени , что она сядит на своё место ( с разными комбинациями пересадки с место на место)) так,что 9800раз бабулька может сесть на своё место пока очередь н дойдёт до пассожира и 1 раз что бабулька сразу сядет на место пассажира)(эксперемент показывает нам что пассажир сядит на своё место в 99,99% (+ с каждым пришедшем поссажиром шансы бабульки сесть на своё место увеличиваються на 0,5% )

жду ваших коментариев "_"

Задача элементарная!!!
Ответ правильный шанс 50%. Объясняю: возможны только 3 случая(другие однообразны и приведут к такому же результату)!
1-ый случай бабка садиться на свое место, значит шанс пассажира сесть на свое место 100%!
2-ой случай бабка садиться на место 100-ого пассажира, значит его шанс сесть на свое место 0%.
3-ий случай бабка села на любое место, но не на свое и не на место последнего пассажира, а это значит что шанс второго пассажира сесть на место 100-ого пассажира 1\99, шанс третьего 1\98, шанс 99 пассажира 98\99. Теперь прибавим мы все эти дроби и получим число 49.5, а случаев всего 99 значит шанс 0.5 или 50%!
Теперь берем все эти три случая слаживаем 50%+100%+0%=150% и делим на количество случаев, и получаем 50%.
вопросов наверно возникнуть не должно

боюсь вы ошиблись в своих рассуждениях, эти исходы которые вы считаете элементарными не равно вероятны, (например всем известная задача про монетки бросаем две монетки, ОО и РР шанс 0,25 а вот РО 0,5(потому что мы можем составит такую последовательность двумя способами, и монетки отличаются друг от друга)

не математик, но выглядит убедительно!

Если бабка садится на не свое место, а один из последующих пасажиров кроме сотого (последнего) сядет на место бабки, то шанс, что место последнего пасажира не займут все равно остается=)

хмм... а по моему ответ в 50% неправильный, т.к это получается бросок монетки, из двух таких ситуаций бабка должна сесть на место сотого(очевидно не правильно). Если нас не интересуют другие пассажиры, а интересует только 100 и если бабка будет садится по закону равномерной случайной величины,то вероятность расна 99/1 т.е если смоделировать эту ситуацию 1 миллион раз то 1 раз из ста повторений бабка сядет на место 100го и 99 раз он сядет на свой место.

так как сумашедший пассажир занял не свое место, то мест остается 99 для нормальных людей 99 пассажиров и каждый из них т.е. один может занять не своё. У сумашедшего пассажира могло оказаться любое от 1 до 100-го места, но он мог занять не свое, а мог и свое - это 100 вариантов вероятности занять свое место, и 9900 занять не своё(всего (10000 вариантов). Оставшиеся 99 пассажиров могли занять свои места в соответствии с местом, указанном в билете, но от 1 до 99 пассажиров мог занять не своё( т.е. 1-ый пассажир мог занять от 1 до 99, 2-ой, 3-й и т.д.) каждый мог попасть под "косяк", значит 9801 способ, т.к. (1-ый мог занять свое из 99 оставшихся мест, а мог и не свое из 99 оставшихся мест... и т.д.).

Хотел сначала тоже написать, что задача неправильно решена (не вчитываясь в ответ автора), но вовремя заметил ошибку у себя. Перебирая варианты с 4 креслами, пришлось отдельно рассмотреть случаи, когда старушка села на место второго (первого нормального) пассажира и третьего (второго нормального) пассажира, так как, в зависимости от этого, второй садится на свое место или начинает занимать его случайно (и возможность сесть на место старушки тут тоже надо учесть). Четвертый (пассажир-жертва) действительно садится на свое место с вероятностью 1/2. Перечитал ответ автора (вообще-то, нужно было поаккуратнее написать, посмаковать перед словами "имеем формулу", а то уж очень резко мы ее ... получили) более внимательно и вынужден с ним согласиться, хорошая задачка.

Решение задачи ПРИ УСЛОВИИ, что пассажиры заходят ПО ПОРЯДКУ.
Основываясь на этом предположении, для 4-х пассажиров вероятность 4-го сесть на свое место 50%.

Допустим 4-й пассажир это Я.
Я сяду на своё место в 4-х случаях:
1)
Бабка сядет на своё 1-е место (1=>1 - 1/4)
За ней 2-й сядет на своё место (2=>2 - 1)
За ним 3-й сядет на своё место (3=>3 - 1)
Всего = 1/4*1*1 = 1/4
2)
Бабка сядет на 2-е место (1=>2 - 1/4)
2-й сядет на 1-е место (2=>1 - 1/3)
3-й сядет на своё место (3=>3 - 1)
Всего = 1/4 * 1/3 * 1 = 1/12
3)
Бабка сядет на 2-е место (1=>2 - 1/4)
2-й сядет на 3-е (2=>3 - 1/3)
3-й сядет на место бабки (3=>1 - 1/2)
Всего = 1/4*1/3*1/2 = 1/24
4)
Бабка сядет на 3-е место (1=>3 - 1/4)
2-й сядет на своё (2=>2 - 1)
3-й сядет на бабкино (3=>1 - 1/2)
Всего = 1/4*1/2 = 1/8

Сумма: 1/4 + 1/12 + 1/24 + 1/8 = 1/2 = 50%

Если же пассажиры заходят НЕ ПО ПОРЯДКУ, то появляется дополнительный вариант:
5)
Бабка сядет на 3-е место (1=>3 - 1/4)
3-й сядет на 2-е (3=>2 - 1/3)
2-й сядет на бабкино (2=>1 - 1/2)
Всего = 1/4*1/3*1/2 = 1*24

ИТОГО: 13/24 = 50%

ПОЭТОМУ ОТВЕТ 50% ВЕРЕН ТОЛЬКО ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО ПАССАЖИРЫ ЗАХОДЯТ ПО ПОРЯДКУ

Вероятность 100%, поскольку, эту дуру всегда можно принудительно пересадить на ее место или, согласно технике безопасности полетов, снять с рейса.

n <- 100
 

(factorial(n)*1/3)/(factorial(n)-(factorial(n)*1/3))

Поменяем условия :) Пассажир, чье место занято - ведет себя так же, как и "сумашедшая бабка" (занимает любое свободное место). Допустим, что пассажир, когда видит, что на его месте сидит эта бабка - просто выгоняет ее со своего кресла (нам не важно кто будет занимать следующее место очередной пассажир или бабка, главное как ОНО себя ведет). И так, "бедную бабку" будут выгонять пока она не сядет либо на место последнего пассажира, либо на свое. Шансы - 50 на 50 :)

Откуда ответ 1/2? Это напоминает решение блондинки: встретит на улице динозавра или нет, Р=1/2. Р того,что бабуля займет свое место 1/100 и 99/100, что не свое. У следующего пассажира Р того,что его место занято бабулей 1/99 и 98/99,что свободно. У третьего его место свободно с Р=97/98...и т.д. Насколько помню, это условные вероятности, которые надо перемножать.

n <- 3
(factorial(n)*1/3)/(factorial(n)-(factorial(n)*1/3))
Комбинаторика возможных мест - те места которые сядут правильно тоесть 1/3