Сплошные единицы

Докажите, что найдется число, записываемое одними единицами и делящееся на 1999.

Ответ: Рассмотрим последовательность чисел 1, 11, 111, ... Допустим, что ни одно из них не делится на 1999. Поскольку остатки от деления этих чисел на 1999 могут равняться числам от 1 до 1998, то найдутся среди последовательности два числа, дающие при делении на 1999 одинаковые остатки. Тогда их разность делится на 1999. Откинув в этой разности нули, т.е. разделив на степень 10 - число, взаимно простое с 1999, получим число из одних единиц, делящееся на 1999.

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.6 (117 оценки)


Комментарии

Умно то как все написано...

Ну так предложите свой, простой и наглядный способ 

Просто 1999 разделить на 1.

надо наоборот как раз..

ни че не понял:)

число то какое в итоге?

Таких чисел бесконечно много, наименьшее из них состоит из 999 единиц (в этом можно убедиться простым перебором на компьютере, если уметь работать с большими числами).

Вопрос.
Нашли ПЕРЕБОРОМ (от 1 до 111..111) 2 числа k и n, оба состоят из единиц (n>k).
n-k=m(причем m состоит в начале только из 1, конец только из 0)(m m/(10^l)=b (b Т.к. b Либо искать перебором числа n и k дольше, чем само число b?
Странновато...

Наименьшее число из 999 единиц, делимое на 1999 без остатка, результат — 995-значное число.
111...111/1999=
555833472291701406258684898004557834472791951531321216163637374242676894002556833972541826468
789950530820966038574842977044077594352731921516313712411761436273692401756433772441776443777
444277694402756934022566838975043077094102606858985048079595353232171641376243677394252681896
503807459285198154632871991551331221166138624867989550330720916013562336723917514312711911511
311211161136123617364237674392751931521316213662386748930020565838474792952031571341226168639
875493302206658884998054582846979045078094602856984047579345228169640375743427269190150630870
991051081096103607359235173142126618864988049580345728419765438274692902006558834973042076593
852481796453782446778945028069590350730921016063587349230170640875993552331721416263687399255
183147129120115613362236673892501806458784948029570340725918514812962036573842476793952531821
466288699905508309710410760936023567339225168139625368239675393252181646378744928019565338224
66788950030570840976043577344227669390250680896003557334222666889.

Это не ответ, а бред сивой кобылы.

Эдак можно доказать, что число из одних единиц делиться на два ;)

Да нельзя так доказать делимость на 2. Не можем мы безопасно убирать нули в этом случае.

Автор дал правильное решение:
пусть А и В -числа состоящие из одних только едениц и имеющие одинаковые остатки от деления на 1999, такие числа по-любому найдуться ввиду конечности остатков,а следственно периодичности множества 1, 11, 111, 1111 и т.д. т.е. пусть в итоге перебирая все эти остатки, ими окажутся а и в.
тогда если а и в имеют одинаковые остатки, то их разница делиться на число 1999 - это по одному из свойств арифметики 5 класса.
причем можно заметить, что разница двух чисел вида 1111... и 11... дает число вида 111...000, где в начале тока единицы, а в конце нули, причем это число делиться на 1999, как уже утверждалось выше.
но если число Х0 (с нулем н конце) делиться на 1999, то число Х (БЕЗ 0) тоже делиться на 1999 ввиду взаимной простоты 10 и 1999, тогда убирая ноль за нулем, получим число состоявшее из одних едениц и делящееся на 1999
Учить математику надо было)))

Чего? )))))))))))

Спасибо за нули и взаимную ростоту, а то я уже стал путаться

А причем тут Дирихле?

А вообще-то поняла. :)
Ну да, все верно вроде.

При том, что мы можем перебрать 1999 чисел состоящих только из единиц, но так как при делении этого числа 111..111 на 1999 остаток может быть в интервале [1, 1998], то обязательно найдутся два числа с одинаковым остатком, все просто)

Докажем деление 111.. на 2!
берем числа 11 и 111,
разница этих чисел - 100.
Начинаем убирать нули и что получаем?
ЕДИНИЦУ, причем по матиматике. :))

задача не имеет решения, если делитель чётный, или делится на 5, для того, чтобы без потери делимости можно было бы делить на 10. Можете взять вашу 2, на которую делимость доказываете, и поставить себе в дневник, а я на неё разделю 10 и заберу частное себе в дневник :)

не оценяйте, да неоцененными будете

Видно не учили Вы алгебру. :) 2 и 10 не взаимнопростые числа!

Докажем деление 111.. на 3!
берем числа 11 и 1111,
разница этих чисел - 1100.
Начинаем убирать нули и что получаем?
ОДИННАДЦАТЬ, причем по матиматике. :))

господи, ну вы и лох...
принцип деления на три: если сумма всех цифр в числе делится на три, то и это число делится на три 0о
1+1+1=3, 111\3=37...
45815988 делится на три...
4+5+8+1+5+9+8*2=48, 48 делится на три, 45915988\3=15271996
проверь 0о

11 и 1111 остатки будут 2 и 1 при делении на 3, с решением все в порядке.

111 не делится на 2, Mikel!

если поделить на 10 то число от этого не перестанет делится на 1999(у них нет общих делителей), а вот на 2 может и перестать(вот в чем Ваша ошибка)

Отличная задача и очень красивое решение!

А я было начал восстанвливать поразрядно множетель при записи в столбец (в принципе програмно можно сделать без перебора):

1999
...889
________
17991
15992
15992
...
________
...111

Задача не имеет решения. При использовании подобного метода решения, который являеться по сути правильным, получаеться бесконечное воспроизведение одной и той же картины и количество едениц в числе, которое делиться, стремиться к бесконечности

люди!
вы учили математику вообще когда-нибудь!?

я не понял! а если взять 1998 а не 1999??? что изменится??? тоже так докажете???

Нет, 1998-Чётное, а единицы нечётные. Если есть желание 1997, 1995...

1995 не получится, т.к. не взаимнопросто с 10!

логика вроде бы правильная, но сомнения в 2 пунктах:
1. найдутся ли из последовательности 2 числа с одинаковым остатком
2. все-таки кажется, что надо складывать числа с остатком, а не вычитать=)

1. найдутся ли из последовательности 2 числа с одинаковым остатком

Найдутся (принцип Дирихле): чисел из одних единиц бесконечно много, а остатков всего 1998

2. все-таки кажется, что надо складывать числа с остатком, а не вычитать=)

(1999 * n + a) - (1999 * m + a) = 1999(n-m)

да бредятина, самый простой способ умножить число 1999 на 1, потом на 11, 111 и тд. Нет такого числа, а то что называют доказательством это просто развод 8)

ну так попробуйте, даю гарантию что такое число будет и в этом числе будет не больше чем 1999 единиц.

кстати ответ 1498 единиц, но это уже использование компьютера:)

вру ответ 998 (1498 было для деления на 2999).

вот код, написал на коленке -

#include

class data{
public:
static const int size=3000;

int d[size];

data()
{
for (int i=size-1; i>=0; i--) d[i]=0;
}

int operator %(int del)
{
int val = 0;
for (int i=size-1; i>=0; i--){
val = val*10+d[i];
while(val>=del)val-=del;
}
return val;
}

};

int main(){
data a;

for (int i=0; i a.d[i]=1;
if(a%1999==0) {
printf("result %d\n",i);
break;
}
}
}

int main(){
data a;

for (int i=0; i a.d[i]=1;
if(a%1999==0) {
printf("result %d\n",i);
break;
}
}
}

парень я рад,что ты шаришь в программировании,но нужно как-то шарить и в логике,если 998 умножить на 1999,на конце не будет единица а будет двойка т.к. 8*9=72,на конце множителя должна быть девятка....=\

он имел ввиду что число состоит из 998 едениц, т.е. 11111111111111111....... всего 998

Да, Слава, конечно, рассмешил своим умозаключением. ))))

кстати что интересно,первая цифра множителся должна быть 1,ну и последняя 9 как я и говорил

В коде идеологическая ошибка.
Максимальное число для 32-битного unsigned int (который тут даже не используется, а используется обычный int) - это 4294967295, поэтому число из 998 единиц в этот тип данных никак не влезет. Так что могу себе представить, что эта программа насчитает...

Я могу привести пример такого числа.
Доказательство хорошее такое

как говорил альберт есть 2 бесконечные вещи: человеческая глупость и вселенная. насчет последней я не уверен..одни думают что делить надо 1999 на число из единиц, другие думают что остатки нужно складывать, третьи - причем тут принцип дирихле..куда катится россия?? стыдно за вас, ребята..

а это за какой класс задача
я в 7 классе и мне УрФО решать я немного не понимаю как это решается

Стыдно, может вам?
Это же выне понимаете принцип Дирихле

Исходя из условия задачи существует бесконечное множество чисел прекрасно делящихся на 1999 как состоящих из 1 так и из любых других цифр. Например 1 прекрасно делится на 1999 впрочем как и любое другое число.

Относительно "доказательства": неубедительно. Ведь так можно доказать и деление на любое число, в том числе и заканчивающееся на 2; 4; 5... Т.е. доказать невозможное...

Доказательство более чем убедительно, просто условие задачи такое. На самом деле вы правы, просто из едениц можно сложить такое число, что оно будет делиться на второе, для любого второго числа.

Страницы