Головоломка с нулями

Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи? 

Ответ: Число заканчивется 249 нулями. Каждый нуль в конце искомого числа возникает от произведения чисел 2 и 5 - других вариантов нет. Эти числа являются множителями, на которые раскладываются перемножаемые в факториале целые числа. Очевидно, множителей 5 будет меньше множителей 2. Значит, количество нулей определяется исключительно количеством множителей-пятерок. Один такой множитель содержат числа 5, 10, 15, 20, 25, ..., 1000 - всего их насчитывается 1000:5 = 200. Два множителя содержат числа 25, 50, ..., 1000, всего их 1000:25 = 40. Три множителя содержат 1000:125 = 8 чисел, а четыре - только одно число 625. Складывая количество множителей с учетом их повторения, найдем общее их количество: 200+40+8+1 = 249. Столько нулей в конце факториала.

Ваша оценка: Нет Средняя: 4.1 (71 оценка)


Комментарии

Неправильно.
Количество нулей определяется НЕ только 2х5, но и собственными нулями множителей, в частности 10, 60, 500, 600 и т.д.
Таким образом, к искомому числу добавляем еще 9 + 2х9 + 3 = 30 нулей

думать головой тоже не мешает =)

Спасибо, классная задача, от души подумала над ней. Особое спасибо за подробный и понятный ответ.

4*5 тоже ноль.... решил задачу - от 100 до 200 получилось 32 нуля. Потом решил проверить тупым умножением в Excel - мозг вскипел... 100*101*102*...*160 = 115 нулей!!!
.... очень буду благодарен а разъяснения..

4*5=2*(2*5) таким образом мы получаем 0 из пар 2*5 умноженных на какое то число(а). Если будет понятней, то 2 и 5 простые числа(не раскладываются на множетели даьше) перемножение которых дает 0. Тоесть любое число в конце которого нули можно представить как x*10^n а 10 в степени n это n пар 2*5.

Количество нулей посчитивается так:

K=[N /(5^1)] +  [N /(5^2)] + [N /(5^3)] +...........+  [N /(5^n)]

K количество нулей в конце факторяла, N само число  факториала, а n степень числа 5.

N /(5^n) деление пройзводится до того, пока  резултат от целечисленного деления не станет ровно или меньше единицы

примеры :

кол.-во нулей в:

200!  -> К=[200/(5^1)]+[200/(5^2)]+[200/(5^3)] = [200/5]+[200/25]+[200/125] =40+8+1=49 нулей

125! ->K=[125/(5^1)]+[125/(5^2)]+[125/(5^3)]=25+5+1

15! ->K=[15/(5^1)] =3

Это точно верно?