Фон Нейман и задача о мухе

Два поезда, находившиеся на расстоянии 200 км друг от друга, сближаются по одной колее, причем каждый развивает скорость 50 км/ч. С ветрового стекла одного локомотива в начальный момент движения взлетает муха и принимается летать со скоростью 75 км/ч вперед и назад между поездами, пока те, столкнувшись, не раздавят ее. Какое расстояние успевает пролететь муха до столкновения? 

Ответ: Эту задачу можно решить двумя способами: "трудным" и "легким".

С каждым из поездов муха успевает повстречаться бесконечно много раз. Чтобы найти расстояние, которое муха преодолела в полете, можно просуммировать бесконечный ряд расстояний (эти расстояния убывают достаточно быстро, и ряд сходится). Это - "трудное" решение. Чтобы получить его, вам понадобятся карандаш и бумага.

"Легкое" решение состоит в следующем. Поскольку в начальный момент расстояние между поездами равно 200 км, а каждый поезд развивает скорость 50 км/ч, то от начала движения до столкновения проходит 2 ч. Все эти 2 ч муха находится в полете. Поскольку она развивает скорость 75 км/ч, то до того момента, как столкнувшиеся локомотивы раздавят ее, муха успеет пролететь 150 км. Вот и все!

Один из выдающихся математиков современности, Джон фон Нейман, когда ему задали эту задачу, задумался лишь на миг и сказал: "Ну, конечно, 150 км!" Приятель спросил его: "Как вам удалось так быстро получить ответ?" "Я просуммировал ряд", - ответил математик.

Ваша оценка: Нет Средняя: 4.3 (72 оценки)


Комментарии

Жалко муху - наверное она пыталась предупредить машинистов...

150км... так как через 2 часа происходит сталкновение, а в течении двух часов муха может со скоростью 75км/ч лететь 150км.

А кто-нибудь пробовал просуммировать ряд?

Представим, муха начинает движение от первого поезда ко второму. До второго поезда она долетает за время t1. Муха до встречи со вторым поездом прошла расстояние x1=75t1. Второй поезд прошел расстояние до встречи с мухой 50*t1. Суммарное расстояние, пройденное мухой и поездом, равно 50*t1+75*t1=200, откуда t1=200/(50+75)=200/125. Отсюда x1=75*200/125.
При этом расстояние между поездами сократилось за время t1 до 200-(50+50)t1 = 200-100*200/125 = 200(1-100/125) = 200*25/125.

Теперь муха начинает движение от второго поезда к первому. До первого поезда она долетает за время t2. Муха до встречи с первым поездом прошла расстояние x2=75t2. Первый поезд прошел расстояние до встречи с мухой 50*t2. Суммарное расстояние, пройденное мухой и поездом равно 50*t2+75*t2=200*25/125, откуда t2=200*25/125/125. Отсюда x2=75*200*25/125/125=x1(25/125).

При этом расстояние между поездами сократилось за время t2 до 200*25/125-(50+50)t2 = 200*25/125-100*200*25/125/125 = 200*25/125*(1-100/125) = 200(25/125)^2.

Теперь муха опять начинает движение от первого поезда ко второму. До второго поезда она долетает за время t3. Муха до встречи со вторым поездом прошла расстояние x3=75t3. Второй поезд прошел расстояние до встречи с мухой 50*t3. Суммарное расстояние, пройденное мухой и поездом равно 50*t3+75*t3=200(25/125)^2, откуда t3=200(25/125)^2/125. Отсюда x3=75*200(25/125)^2/125 = x1(25/125)^2.

Обозначим за X3 частичную сумму трех первых членов последовательности {xn}. X3=x1+x2+x3=x1(1+(25/125)+(25/125)^2). По индукции можно доказать, что для произвольного числа шагов n частичная сумма n членов последовательности будет равна Xn=x1(1+(25/125)+(25/125)^2+..+(25/125)^n).

Из формул сокращенного умножения известно, что a^n+a^(n-1)+..+1=[a^(n+1)-1]/[a-1] (также сумма геометрической прогрессии).
Тогда Xn=x1[(25/125)^(n+1)-1]/[25/125-1] = -125x1[(25/125)^(n+1)-1]/100. При n->? величина (25/125)^(n+1)->0, поэтому сумма бесконечного ряда равна X=-125x1[0-1]/100=x1(125/100) = 75*200/125*(125/100)=75*2=150.

Можно также просуммировать временной ряд:
T3=t1+t2+t3=t1+t1(25/125)+t1(25/125)^2 = t1(1+(25/125)+(25/125)^2).
Tn=t1[(25/125)^(n+1)-1]/[25/125-1]=
-125t1[(25/125)^(n+1)-1]/100.
T=-125t1(0-1)/100=t1(125/100)=200/125(125/100)=2.
Тогда суммарное расстояние, пройденное мухой, равно 75*T=75*2=150.

Будьте проще.

Разобьем полет мухи на интервалы, от столкновения до столкновения. На k-ом интервале:
Sk = 75 Tk + 50 Tk, где Tk - время до столкновения, Sk - расстояние между поездами. Пусть Pk - путь, пройденный мухой на интервале, Pk = 75 Tk. Решим, найдем: Tk = Sk / 125, Pk = 0.6 Sk.

Что до Sk. S0 = 200. Sk+1 = Sk - Tk * 50 * 2. Т.е. Sk = 0.2^k * 200.

Полный путь мухи P = sum(Pk,k,0,inf) = 0.6 * sum(Sk) = 0.6 * 200 * sum(0.2^k) = 150.

В длинном варианте решения нет необходимости сумировать бесконечный ряд чисел. Этот ряд ограничен толщиной мухи. Когда расстояние между поездами становится равным или меньше размеров мухи, та в свою очередь лишается возможности летать, а через микродоли секунды и всего остального. Данный факт, правда, не влияет на результат задачи в глобальных масштабах =))) Посему, спасибо за задачку!

я на уроках физики решали подобную задачу.
Вместо мухи был кит, который плавает от одного корабля до другого.
я умница, самый первый догадался её решить. ^^

А Джон фон Нейман шутник, однако)

Принцип однородности памяти xD

разве муха, пролетев 120 км, не сталкнется с идущем навстречу поездом?

t=S/V
200/50=4

S=Vt
S= 75* 4=300km

Решение некорректное. 200 надо делить на 100, а не 50,.т.к. поезда движутся навстречу. Соответственно, они встретятся через 200/100 = 2 часа. А муха пролетит 150 км.

А ВТОРОЙ ПОЕЗД НА МЕСТЕ СТОЯЛ? 

Самое интересное, что ни одна муха не летит с такой скоростью, и уж тем более на разворотах около поездов, ни одно существо в мире не способно двигаться в противоположные стороны со скоростью 75км/ч,не замедляясь.

Поскольку мне задали вопрос, сколько раз успеет пролететь муха между поездами? То я решила так: 75 это в 1.5 раза больше чем 50. На 120 на 80-первая встр с поездом В, обратно до поезда А у нее 40 км, это 24 на 16- вторя встр с поездом А, обратно до поезда В у нее 8 км, это 5.5 на 2.5-третья встреча с поездом В, обратно до поезда А у нее 3 км, это 2 на 1- встреча с поездом А. Дальше идет уже деление расстояния в 1 км. Но если вопрос обстоит так"сколько километров успеет преодолеть муха, прежде чем расшибется между поездами" то, да второй вариант ответа в 150 км он верный.